Si on dispose d'une fonction de plus de deux variables, les concepts sont les mêmes !
Cependant l'étude du déterminant et de la trace de la hessienne ne suffit pas pour déterminer la nature du point critique.
Le théorème spectrale devrait être un outil puissant.
En effet la matrice hessienne est une matrice symétrique. Elle est donc diagonalisable. Les vecteurs propre de valeur propre positive donnent les directions suivant lesquelles la fonction admet un minimum et celle qui sont positives donnent des maximums.
Pour étudier la fonction définie sur \( \R^3\) par \( f(x, y, z)=x^2+yz+z\) , on commence par chercher les points critique par le calcul du gradient.
On trouve aisément que \( \overrightarrow{Grad} (f)=
\begin{pmatrix}
2x\\
z\\
y+1
\end{pmatrix}
\)
qui s'annule en \( (x, y, z)=(0, -1, 0)\) . On détermine sa hessienne tout aussi aisément :
\( H=
\begin{pmatrix}
2&0&0\\
0&0&1\\
0&1&0
\end{pmatrix}
\) .
Diagonalisons cette matrice.
- Première étape.
- Déterminons le polynôme caractéristique.
\[\chi(X) = \det(H-XId) = \left|
\begin{array}{ccc}
2-X&0&0\\
0&-X&1\\
0&1&-X
\end{array}
\right| = -(X-2)(X-1)(X+1)\]
- Seconde étape.
- Déterminons les valeurs propres, solution de \( \chi(X)=0\) . Ici on trouve facilement les trois valeurs propres : \( -1\) , \( 1\) et \( 2\) .
- Troisième étape.
- Déterminons les espaces propres.
- Espace propre de la valeur propre \( -1\) .
- Il s'agit de trouver un vecteur \( X\in \R^3\) tel que \( (H+Id)X=\overrightarrow{0}\) .
\[
\left\{
\begin{array}{rcrcrcl}
3x&&&&&=&0\\
&&y&+&z&=0&\\
&&y&+&z&=0&
\end{array}
\right.
\]
qui trouve une infinité de solution \( \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}
0\\1\\-1
\end{pmatrix}\) .
- Espace propre de la valeur propre \( 1\) .
- Il s'agit de trouver un vecteur \( X\in \R^3\) tel que \( (H-Id)X=\overrightarrow{0}\) .
\[
\left\{
\begin{array}{rcrcrcl}
x&&&&&=&0\\
&-&y&+&z&=0&\\
&&y&-&z&=0&
\end{array}
\right.
\]
qui trouve une infinité de solution \( \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=y\begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix}\) .
- Espace propre de la valeur propre \( 2\) .
- Il s'agit de trouver un vecteur \( X\in \R^3\) tel que \( (H-2Id)X=\overrightarrow{0}\) .
\[
\left\{
\begin{array}{rcrcrcl}
&&&&0&=&0\\
&-&2y&+&z&=0&\\
&&y&-&2z&=0&
\end{array}
\right.
\]
qui trouve une infinité de solution \( \begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}\) .
- Conclusion.
- Dans la base \( \left\{\begin{pmatrix}
0\\1\\-1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}\right\}\) la hessienne s'écrit \( \begin{pmatrix}
-1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&2
\end{pmatrix}\)
On en déduit que l'on a une
sorte de point selle : en coupant la fonction (
ie ligne de niveau) suivant le plan engendré par les vecteurs \( \begin{pmatrix}
0\\1\\1
\end{pmatrix}\) et \( \begin{pmatrix}
1\\0\\0
\end{pmatrix}\) la fonction admet un minimum et suivant la droite \( \begin{pmatrix}
0\\1\\-1
\end{pmatrix}\) la fonction admet un maximum au point \( (0, -1, 0)\) .
