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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 3\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}14 & 1 \\ 7 & 23\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[KKRBTV\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 3 & 2 & 8&-1 & 9 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 3\) est \( 9\) .
- D'après le cours \( det(A)= 315\equiv_{26}3\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}14 & 1 \\ 7 & 23\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 9\begin{pmatrix}23 & -1 \\ -7 & 14\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}207 & -9 \\ -63 & 126\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & -9 \\ -11 & 22\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & K & K & R & B & T & V\\\hline Codex & 10 & 10 & 17 & 1 & 19 & 21\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}10 \\ 10\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 1\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}19 \\ 21\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}25 & -9 \\ -11 & 22\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}160 \\ 110\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}416 \\ -165\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}286 \\ 253\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 6\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 17\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}0 \\ 19\end{pmatrix} }\\\hline & 4 & 6 & 0 & 17 & 0 & 19\\\hline Message & E & G & A & R & A & T\end{array}\]Le message claire est \( EGARAT \) .