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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1871\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}839 & 2258 \\ 1980 & 559\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[472-478-1740-930\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1871 & 655 & 1&-617 & 833 \\ \hline
1871 & 655 & 561 & 2&216 & -617 \\ \hline
655 & 561 & 94 & 1&-185 & 216 \\ \hline
561 & 94 & 91 & 5&31 & -185 \\ \hline
94 & 91 & 3 & 1&-30 & 31 \\ \hline
91 & 3 & 1 & 30&1 & -30 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1871\) est \( 833\) .
- D'après le cours \( det(A)= -4001839\equiv_{2526}1871\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}839 & 2258 \\ 1980 & 559\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 833\begin{pmatrix}559 & -2258 \\ -1980 & 839\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}465647 & -1880914 \\ -1649340 & 698887\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}863 & -1570 \\ -2388 & 1711\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{4}{|c}} Cryptogramme & 472 & 478 & 1740 & 930\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}472 \\ 478\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1740 \\ 930\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}863 & -1570 \\ -2388 & 1711\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-343124 \\ -309278\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}41520 \\ -2563890\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}412 \\ 1420\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}1104 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 412 & 1420 & 1104 & 0\\\hline Message & EM & OU & LE & AA\end{array}\]Le message claire est \( EMOULEAA \) .