L'exercice suivant est automatiquement et aléatoirement généré par ataraXy.
Si vous regénérez la page (F5) les valeurs seront changées.
La correction se trouve en bas de page.
Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 3\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}25 & 9 & 12 \\ 3 & 6 & 6 \\ 21 & 14 & 11\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}-18 & 69 & -18 \\ 93 & 23 & -114 \\ -84 & -161 & 123\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[UEVWMNWMG\]
Cliquer ici pour afficher la solution
Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 3 & 2 & 8&-1 & 9 \\ \hline
3 & 2 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
2 & 1 & 0 & 2&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 3\) est \( 9\) .
- D'après le cours \( det(A)= -621\equiv_{26}3\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}25 & 9 & 12 \\ 3 & 6 & 6 \\ 21 & 14 & 11\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-18 & 69 & -18 \\ 93 & 23 & -114 \\ -84 & -161 & 123\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-621 & 0 & 0 \\ 0 & -621 & 0 \\ 0 & 0 & -621\end{pmatrix}\\
&=&-621\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{26}&3\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{26}3Id_{3}\) . Puisque \( 9\) est l'inverse de \( 3\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (9B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 9B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{26}9\begin{pmatrix}-18 & 69 & -18 \\ 93 & 23 & -114 \\ -84 & -161 & 123\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}-6 & 23 & -6 \\ 5 & 25 & -12 \\ -2 & -19 & 15\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{9}{|c}} Cryptogramme & U & E & V & W & M & N & W & M & G\\\hline Codex & 20 & 4 & 21 & 22 & 12 & 13 & 22 & 12 & 6\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}20 \\ 4 \\ 21\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}22 \\ 12 \\ 13\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}22 \\ 12 \\ 6\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-6 & 23 & -6 \\ 5 & 25 & -12 \\ -2 & -19 & 15\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-154 \\ -52 \\ 199\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}66 \\ 254 \\ -77\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}108 \\ 338 \\ -182\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 17\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}14 \\ 20 \\ 1\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}4 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 2 & 0 & 17 & 14 & 20 & 1 & 4 & 0 & 0\\\hline Message & C & A & R & O & U & B & E & A & A\end{array}\]Le message claire est \( CAROUBEAA \) .