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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1171\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1699 & 758 & 1062 \\ 483 & 1439 & 2504 \\ 134 & 915 & 2023\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}619937 & -561704 & 369814 \\ -641573 & 3294769 & -3741350 \\ 249119 & -1453013 & 2078747\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1515-1701-2376-1484-2444-1158\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1171 & 184 & 2&-70 & 151 \\ \hline
1171 & 184 & 67 & 6&11 & -70 \\ \hline
184 & 67 & 50 & 2&-4 & 11 \\ \hline
67 & 50 & 17 & 1&3 & -4 \\ \hline
50 & 17 & 16 & 2&-1 & 3 \\ \hline
17 & 16 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
16 & 1 & 0 & 16&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1171\) est \( 151\) .
- D'après le cours \( det(A)= 831525007\equiv_{2526}1171\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1699 & 758 & 1062 \\ 483 & 1439 & 2504 \\ 134 & 915 & 2023\end{pmatrix}\begin{pmatrix}619937 & -561704 & 369814 \\ -641573 & 3294769 & -3741350 \\ 249119 & -1453013 & 2078747\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}831525007 & 0 & 0 \\ 0 & 831525007 & 0 \\ 0 & 0 & 831525007\end{pmatrix}\\
&=&831525007\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&1171\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}1171Id_{3}\) . Puisque \( 151\) est l'inverse de \( 1171\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (151B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 151B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}151\begin{pmatrix}619937 & -561704 & 369814 \\ -641573 & 3294769 & -3741350 \\ 249119 & -1453013 & 2078747\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1979 & -1802 & 2158 \\ -371 & 1789 & -1424 \\ 2303 & -1655 & 2459\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 1515 & 1701 & 2376 & 1484 & 2444 & 1158\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}1515 \\ 1701 \\ 2376\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1484 \\ 2444 \\ 1158\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1979 & -1802 & 2158 \\ -371 & 1789 & -1424 \\ 2303 & -1655 & 2459\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}5060391 \\ -902400 \\ 6516474\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1031712 \\ 2172760 \\ 2220354\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}813 \\ 1908 \\ 1920\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1104 \\ 400 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 813 & 1908 & 1920 & 1104 & 400 & 0\\\hline Message & IN & TI & TU & LE & EA & AA\end{array}\]Le message claire est \( INTITULEEAAA \) .