Exercice

1. Il faut et il suffit d'interdire la valeur qui annule le dénominateur à savoir \( -3\) . En conclusion \[\mathscr{D}_f=\R-\{-3\}\]
2. 1. On observe qu'en \( -3\) le numérateur de \( f\) vaut \( {6(-3)^2+3(-3)+5-e^{-3}} \simeq 49.95 {>}0\) . On a alors trivialement \[ \lim{x\rightarrow -3^-} f(x)=-\infty \quad\text{et}\quad \lim{x\rightarrow -3^+} f(x)=+\infty \]
   2. On observe que \( f(x)=\dfrac{6x^2+3x+5}{x+3} - \dfrac{e^{x}}{x+3}\) . Or, d'après le théorème des croissances comparées, \( \lim{x\rightarrow-\infty}\dfrac{e^{x}}{x+3}=0\) d'où \[ \lim{x\rightarrow -\infty} f(x) =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{6x^2+3x+5}{x+3} =\lim{x\rightarrow -\infty} \dfrac{6x^2}{x} =\lim{x\rightarrow -\infty} 6x =-\infty \]
   3. 1. D'après le théorème des croissances comparée \( \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{e^x}{7x(x+3)}=+\infty\) .
      2. La question précédente prouve que pour \( x\) suffisament proche de plus l'infini, \( \dfrac{e^x}{7x(x+3)}\geqslant 1\) soit encore \( \dfrac{e^x}{(x+3)}\geqslant 7x\) ce qui équivaut à \( \dfrac{e^x}{(x+3)}-6x\geqslant x\) ce qui prouve l'ingalité demandée en multipliant par \( -1\) .
      3. Prennons la limite dans l'inégalité précédente pour obtenir, \( \lim{x\rightarrow+\infty}6x-\dfrac{e^x}{(x+3)}\leqslant\lim{x\rightarrow+\infty}-x=-\infty\) de sorte que \[ \lim{x\rightarrow+\infty}6x-\dfrac{e^x}{(x+3)}=-\infty \] FInalement, d'après la même observation faites pour la limite en \( -\infty\) on a \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} f(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} \dfrac{6x^2+3x+5}{x+3} - \dfrac{e^{x}}{x+3}\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 6x - \dfrac{e^{x}}{x+3}\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
3. Asymptotes.
   1. Les limites en \( \pm\infty\) n'étant pas fini, il n'existe pas d'asymptote horizontale (non oblique). La limite en \( -3\) étant inifinie, on en déduit que la droite d'équation \( x=-3\) est une asymptote verticale à la courbe représentative de \( f\)
   2. Simplifions l'expression de \( f(x)-y\) : \begin{eqnarray*} f(x)-y &=& \dfrac{6x^2+3x+5-e^{x}}{x+3} - (6x-15)\\ &=& \dfrac{6x^2+3x+5- (6x-15)(x+3)-e^{x}}{x+3} \\ &=& \dfrac{50-e^{x}}{x+3} \\ &=& \dfrac{50}{x+3}-\dfrac{e^{x}}{x+3} \end{eqnarray*} On a \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{50}{x+3}=0\) . De plus d'une part on a \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+3}=+\infty\) ce qui ne permet par de montrer que la droite donnée est une asymptote oblique en \( +\infty\) . D'autre part, d'après le théorème des croissance comparée, \( \lim{x\rightarrow\pm\infty} \dfrac{e^{x}}{x+3}=0\) , ce qui permet de conclure que la droite \( y= 6x-15\) est bien une asymptote oblique à la courbe représentative de \( f\) en \( -\infty\) .
4. On a \( f(x)=\dfrac{u}{v}\) où \( u=6x^2+3x+5-e^x\) et \( v=x+3\) . Dans ce cas \( f'(x)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\) . Le numérateur est donc la fonction \( g\) cherchée. \begin{eqnarray*} g(x) &=&(6x^2+3x+5-e^x)'(x+3)-(x+3)'(6x^2+3x+5-e^x)\\ &=&(12x+3-e^x)'(x+3)-(6x^2+3x+5-e^x)\\ &=&12x^2+3x+36x+9-e^x(x+6)-6x^2-3x-5+e^x\\ &=&6x^2+36x+4-e^x(x+2) \end{eqnarray*}
5. Etude de la fonction \( g\) .
   1. \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow-\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 6x^2+36x+4-e^x(x+2)\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 6x^2+36x+4-\underbrace{\lim{x\rightarrow-\infty} e^x(x+2)}_{0}\\ &=& \lim{x\rightarrow-\infty} 6x^2\\ &=& +\infty\\ \end{eqnarray*} Pour la limite en \( +\infty\) , on applique le théorème des croissances comparés : \( \lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x^n}{e^x}=0\) pour tout \( n\geqslant 0\) . \begin{eqnarray*} \lim{x\rightarrow+\infty} g(x) &=& \lim{x\rightarrow+\infty} 6x^2+36x+4-e^x(x+2)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(6\dfrac{x^2}{e^x}+36\dfrac{x}{e^x}+4\dfrac{1}{e^x}-x-2\right)\\ &=& \lim{x\rightarrow+\infty} e^x\left(-x-2\right)\\ &=& -\infty \end{eqnarray*}
   2. \begin{eqnarray*} g'(x) &=& \left(6x^2+36x+4-e^x(x+2)\right)'\\ &=& \left(6x^2+36x+4\right)'-\left(e^x(x+2)\right)'\\ &=& 12x+36-(e^x)'(x+2)-(e^x)(x+2)'\\ &=& 12x+36-e^x(x+2)-e^x\\ &=& 12x+36-e^x(x+3)\\ &=& 12(x+3)-e^x(x+3)\\ &=& (12-e^x)(x+3) \end{eqnarray*}
   3. On a \( 12-e^x{>}0\) si et seulement si \( 12{>}e^x\) ce qui équivaut à \( x{<}ln(12)\) . On a ainsi le tableau de signe et de variation suivant :
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   4. \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement décroissante sur \( ]-\infty ; -3[\) , que \( \lim{x\rightarrow-\infty}g(x)=+\infty\) et que \( g(-3)\simeq-49.95{<}0\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( a\in]-\infty ; -3[\) tel que \( g(a)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ -5.89{<}a{<}-5.88 \]

      
      

      \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement croissante sur \( ]-3 ; ln(12)[\) , que \( g(-3)\simeq-49.95{<}0\) et que \( g(ln(12))\simeq76.69{>}0\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( b\in]-3 ; ln(12)[\) tel que \( g(b)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ -0.07{<}b{<}-0.06 \]

      
      

      \( \bullet\)

      La fonction \( g\) étant continue et strictement décroissante sur \( ]ln(12) ; +\infty[\) , que \( g(ln(12))\simeq76.69{>}0\) et que \( \lim{x\rightarrow+\infty}g(x)=-\infty\) , il existe, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire il existe un unique \( c\in]ln(12) ; +\infty[\) tel que \( g(c)=0\) . A l'aide de la calculatrice on trouve \[ 3.63{<}c{<}3.64 \]

   5. D'après la question précédente on en déduit que \( g(x){>}0\) sur \( ]-\infty ; a[\cup]b ; c[\) et \( g(x){<}0\) sur \( ]a ; b[\cup] b; +\infty[\)
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