\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 5 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{13}{3} & 2 & -4 & -2 \\ 5 & 4 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -2 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (1, 2)\) et \( (3, 4)\) : \( \widehat{A}_{1, 2}=\) \( \widehat{A}_{3, 4}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 0 & 25 & 11 & -\dfrac{29}{2} & 9 \\ 0 & \dfrac{97}{12} & \dfrac{7}{2} & -\dfrac{47}{8} & -\dfrac{5}{4} \\ 0 & 29 & 15 & -\dfrac{25}{2} & \dfrac{2}{5} \\ 0 & 23 & \dfrac{29}{5} & -\dfrac{91}{6} & 6\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{1, 2}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &-&2z &+&\dfrac{5}{2}t &-&u &=&-9\\ &5x&&&+&z &-&2t &+&4u &=&6\\ &\dfrac{3}{4}x&+&\dfrac{13}{3}y &+&2z &-&4t &-&2u &=&7\\ &5x&+&4y &+&5z &&&-&\dfrac{23}{5}u &=&-5\\ &5x&-&2y &-&\dfrac{21}{5}z &-&\dfrac{8}{3}t &+&u &=&-\dfrac{25}{7}\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{149136}{2622289}x&+&\dfrac{59500}{2622289}y &-&\dfrac{300900}{2622289}z &+&\dfrac{273010}{2622289}t &+&\dfrac{266910}{2622289}u &=&-3\\ &-\dfrac{1132548}{2622289}x&-&\dfrac{420843}{2622289}y &-&\dfrac{793716}{2622289}z &+&\dfrac{643935}{5244578}t &+&\dfrac{888885}{5244578}u &=&-8\\ &\dfrac{730580}{2622289}x&+&\dfrac{541265}{2622289}y &+&\dfrac{634260}{2622289}z &-&\dfrac{110100}{2622289}t &-&\dfrac{672420}{2622289}u &=&-6\\ &-\dfrac{713190}{2622289}x&-&\dfrac{317652}{2622289}y &-&\dfrac{1090800}{2622289}z &+&\dfrac{401445}{2622289}t &+&\dfrac{222465}{2622289}u &=&-8\\ &-\dfrac{352820}{2622289}x&+&\dfrac{287055}{2622289}y &-&\dfrac{327840}{2622289}z &-&\dfrac{113015}{2622289}t &-&\dfrac{54300}{2622289}u &=&-9\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{1, 2}=\begin{pmatrix}5 & 1 & -2 & 4 \\ \dfrac{3}{4} & 2 & -4 & -2 \\ 5 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{3, 4}=\begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & -1 \\ 5 & 0 & 1 & 4 \\ 5 & 4 & 5 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -2 & -\dfrac{21}{5} & 1\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(5\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(\dfrac{3}{4}\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(5\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(5\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 0 & 25 & 11 & -\dfrac{29}{2} & 9 \\ 0 & \dfrac{97}{12} & \dfrac{7}{2} & -\dfrac{47}{8} & -\dfrac{5}{4} \\ 0 & 29 & 15 & -\dfrac{25}{2} & \dfrac{2}{5} \\ 0 & 23 & \dfrac{29}{5} & -\dfrac{91}{6} & 6\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}25 & 11 & -\dfrac{29}{2} & 9 \\ \dfrac{97}{12} & \dfrac{7}{2} & -\dfrac{47}{8} & -\dfrac{5}{4} \\ 29 & 15 & -\dfrac{25}{2} & \dfrac{2}{5} \\ 23 & \dfrac{29}{5} & -\dfrac{91}{6} & 6\end{pmatrix}\\ &=&-\dfrac{2622289}{900} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(-\dfrac{2622289}{900}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 5 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{13}{3} & 2 & -4 & -2 \\ 5 & 4 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -2 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix} =-\dfrac{900}{2622289}\begin{pmatrix}\dfrac{391077692304}{2360060100} & -\dfrac{156026195500}{2360060100} & \dfrac{789046760100}{2360060100} & -\dfrac{715911119890}{2360060100} & -\dfrac{699915156990}{2360060100} \\ \dfrac{2969868162372}{2360060100} & \dfrac{1103571969627}{2360060100} & \dfrac{2081352735924}{2360060100} & -\dfrac{1688583667215}{4720120200} & -\dfrac{2330913357765}{4720120200} \\ -\dfrac{1915791897620}{2360060100} & -\dfrac{1419353255585}{2360060100} & -\dfrac{1663213021140}{2360060100} & \dfrac{288714018900}{2360060100} & \dfrac{1763279569380}{2360060100} \\ \dfrac{1870190291910}{2360060100} & \dfrac{832975345428}{2360060100} & \dfrac{2860392841200}{2360060100} & -\dfrac{1052704807605}{2360060100} & -\dfrac{583367522385}{2360060100} \\ \dfrac{925196004980}{2360060100} & -\dfrac{752741168895}{2360060100} & \dfrac{859691225760}{2360060100} & \dfrac{296357991335}{2360060100} & \dfrac{142390292700}{2360060100}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-\dfrac{149136}{2622289} & \dfrac{59500}{2622289} & -\dfrac{300900}{2622289} & \dfrac{273010}{2622289} & \dfrac{266910}{2622289} \\ -\dfrac{1132548}{2622289} & -\dfrac{420843}{2622289} & -\dfrac{793716}{2622289} & \dfrac{643935}{5244578} & \dfrac{888885}{5244578} \\ \dfrac{730580}{2622289} & \dfrac{541265}{2622289} & \dfrac{634260}{2622289} & -\dfrac{110100}{2622289} & -\dfrac{672420}{2622289} \\ -\dfrac{713190}{2622289} & -\dfrac{317652}{2622289} & -\dfrac{1090800}{2622289} & \dfrac{401445}{2622289} & \dfrac{222465}{2622289} \\ -\dfrac{352820}{2622289} & \dfrac{287055}{2622289} & -\dfrac{327840}{2622289} & -\dfrac{113015}{2622289} & -\dfrac{54300}{2622289}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{1, 2}=B_{1, 2}= \left(-\dfrac{2622289}{900}\right)^{-1}Co(A)_{2, 1}= \left(-\dfrac{2622289}{900}\right)^{-1}\times(-1)^{2+1}\det\begin{pmatrix}-5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ \dfrac{13}{3} & 2 & -4 & -2 \\ 4 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ -2 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix}=\dfrac{59500}{2622289}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 5 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{13}{3} & 2 & -4 & -2 \\ 5 & 4 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -2 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &-&2z &+&\dfrac{5}{2}t &-&u &=&-9\\ &5x&&&+&z &-&2t &+&4u &=&6\\ &\dfrac{3}{4}x&+&\dfrac{13}{3}y &+&2z &-&4t &-&2u &=&7\\ &5x&+&4y &+&5z &&&-&\dfrac{23}{5}u &=&-5\\ &5x&-&2y &-&\dfrac{21}{5}z &-&\dfrac{8}{3}t &+&u &=&-\dfrac{25}{7}\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}-9 \\ 6 \\ 7 \\ -5 \\ -\dfrac{25}{7}\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}-\dfrac{149136}{2622289} & \dfrac{59500}{2622289} & -\dfrac{300900}{2622289} & \dfrac{273010}{2622289} & \dfrac{266910}{2622289} \\ -\dfrac{1132548}{2622289} & -\dfrac{420843}{2622289} & -\dfrac{793716}{2622289} & \dfrac{643935}{5244578} & \dfrac{888885}{5244578} \\ \dfrac{730580}{2622289} & \dfrac{541265}{2622289} & \dfrac{634260}{2622289} & -\dfrac{110100}{2622289} & -\dfrac{672420}{2622289} \\ -\dfrac{713190}{2622289} & -\dfrac{317652}{2622289} & -\dfrac{1090800}{2622289} & \dfrac{401445}{2622289} & \dfrac{222465}{2622289} \\ -\dfrac{352820}{2622289} & \dfrac{287055}{2622289} & -\dfrac{327840}{2622289} & -\dfrac{113015}{2622289} & -\dfrac{54300}{2622289}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-9 \\ 6 \\ 7 \\ -5 \\ -\dfrac{25}{7}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1.2886905381916E+32}{1.2399459827576E+32} \\ -\dfrac{1.4368720574883E+33}{3.4718487517213E+33} \\ \dfrac{1.9217470170769E+32}{1.2399459827576E+32} \\ -\dfrac{1.9609893938834E+33}{8.6796218793033E+32} \\ \dfrac{1.112747077883E+33}{8.6796218793033E+32}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{1.2886905381916E+32}{1.2399459827576E+32}\) , \( y=\dfrac{1.4368720574883E+33}{3.4718487517213E+33}\) , \( z=\dfrac{1.9217470170769E+32}{1.2399459827576E+32}\) , \( t=\dfrac{1.9609893938834E+33}{8.6796218793033E+32}\) et \( u=\dfrac{1.112747077883E+33}{8.6796218793033E+32}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &-\dfrac{149136}{2622289}x&+&\dfrac{59500}{2622289}y &-&\dfrac{300900}{2622289}z &+&\dfrac{273010}{2622289}t &+&\dfrac{266910}{2622289}u &=&-3\\ &-\dfrac{1132548}{2622289}x&-&\dfrac{420843}{2622289}y &-&\dfrac{793716}{2622289}z &+&\dfrac{643935}{5244578}t &+&\dfrac{888885}{5244578}u &=&-8\\ &\dfrac{730580}{2622289}x&+&\dfrac{541265}{2622289}y &+&\dfrac{634260}{2622289}z &-&\dfrac{110100}{2622289}t &-&\dfrac{672420}{2622289}u &=&-6\\ &-\dfrac{713190}{2622289}x&-&\dfrac{317652}{2622289}y &-&\dfrac{1090800}{2622289}z &+&\dfrac{401445}{2622289}t &+&\dfrac{222465}{2622289}u &=&-8\\ &-\dfrac{352820}{2622289}x&+&\dfrac{287055}{2622289}y &-&\dfrac{327840}{2622289}z &-&\dfrac{113015}{2622289}t &-&\dfrac{54300}{2622289}u &=&-9\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-3 \\ -8 \\ -6 \\ -8 \\ -9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & -5 & -2 & \dfrac{5}{2} & -1 \\ 5 & 0 & 1 & -2 & 4 \\ \dfrac{3}{4} & \dfrac{13}{3} & 2 & -4 & -2 \\ 5 & 4 & 5 & 0 & -\dfrac{23}{5} \\ 5 & -2 & -\dfrac{21}{5} & -\dfrac{8}{3} & 1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-3 \\ -8 \\ -6 \\ -8 \\ -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}38 \\ -41 \\ \dfrac{13}{12} \\ -\dfrac{178}{5} \\ \dfrac{578}{15}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=38\) , \( y=41\) , \( z=\dfrac{13}{12}\) , \( t=\dfrac{178}{5}\) et \( u=\dfrac{578}{15}\)