Exercice
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Notons ce code secret \( mcdu \) , les quatres variables représentants respectivement les milliers, les centaines, les dizaines et les unités du code. Les quatres informations données se traduisent alors comme suit :
- La somme des chiffres qui composent ce code est \( 21\) : \( m+c+d+u=21\) .
- Le chiffre des dizaines est le double de celui des milliers : \( d=2m \) .
- La différence entre les chiffres des centaines et celui des unités est \( -3\) : \( c-u = -3\) .
- \( 12\) fois le chiffre des centaines est \( 18\) fois celui des dizaines : \( 12c=18d\) .
Soit le système \[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&12c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]
Son écriture matricielle \( AX=B \) pour
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}21 \\ 0 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}\quad \text{et}\quad X=\begin{pmatrix}m\\ c\\ d\\ u\end{pmatrix}\]
La valeur d'un déterminant ne change pas lorsque l'on ajoute à une ligne (ou une colonne) une combinaison linéaire des autres. Ainsi l'opération \( L_2\leftarrow L_2-2L_1\) justifie la première égalité puis en développant par rapport à la première colonne, on justifie la seconde égalité.
\[\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 12 & -18 & 0\end{pmatrix}=\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 12 & -18 & 0\end{pmatrix}\]
De même, l'opération \( C_3\leftarrow C_3+C_1\) justifie la première égalité ; le développement par rapport à la seconde ligne justifie la seconde.
\[\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 12 & -18 & 0\end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix}-2 & -3 & -4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 12 & -18 & 12\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 12\end{pmatrix}\]
D'après la question précédente \( \det(A)=-\det\begin{pmatrix}-3 & -4 \\ -18 & 12\end{pmatrix}\) . En appliquant la règle du gamma on en déduit \( \det(A)=-\left((-3)\times12-(-4)\times(-18)\right)=108\) .
D'après la question précédente, puisque \( \det(A)\neq 0\) alors la matrice \( A \) est inversible et la solution \( X \) vérfie \( X=A^{-1}B\) . En appliquant la formule de l'inverse (par la transposée de la comatrice), on arrive à
\[ X = \begin{pmatrix}\dfrac{1}{9} & \dfrac{4}{9} & \dfrac{1}{9} & -\dfrac{1}{54} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{36} \\ \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{9} & \dfrac{2}{9} & -\dfrac{1}{27} \\ \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{6} & -\dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{36}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}21 \\ 0 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 6 \\ 4 \\ 9\end{pmatrix}\]
Autre méthode en appliquant l'algorithme de Gauss (un oeil agueri retrouvera les opérations élémentaires appliquées à chaque itérations) :
\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&2m&&&-&d &&&=&0\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&12c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-42\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&12c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&-2c&-&3d &-&2u &=&-42\\
&&&12c&-&18d &&&=&0\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-48\\
&&&&&-18d&+&12u &=&36\\
\end{array}
\right.\]\[\left\{\begin{array}{*{5}{cr}}
&m&+&c &+&d &+&u &=&21\\
&&&c&&&-&u &=&-3\\
&&&&&-3d&-&4u &=&-48\\
&&&&&&&-108u&=&-972\\
\end{array}
\right.\]
Finalement le code est \( 2649\)