Une autre approche des séries de Fourier est de travailler avec le nombres complexes. On cherche à exprimer une fonction périodique à l'aide des expressions \( e^{int}\) . Précisément, on cherche des coefficients \( \gamma_n\) tel que \( s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \gamma_ne^{int}\) .
Nous allons raisonner comme précédemment, peut-être un peu plus vite puisque le cheminement est le même.
Proposition
Soient \( n\) et \( m\) des entiers.
\[\int_{-\pi}^\pi e^{nit}e^{imt}\ dt=\left\{
\begin{array}{cl}
2\pi & \text{si }n=-m\\
0 & \text{sinon}
\end{array}
\right.\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
\int_{-\pi}^\pi e^{nit}e^{imt}\ dt
&=&\int_{-\pi}^\pi e^{(n+m)it}\ dt\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\int_{-\pi}^\pi 1\ dt & \text{si } m=-n\\
\left[\dfrac{e^{(n+m)it}}{(n+m)i}\right]_{-\pi}^\pi & \text{sinon}
\end{array}\right.\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
2\pi & \text{si } m=-n\\
0 & \text{sinon}
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}
Définition
Soient \( f\) une fonction continue par morceau et \( 2\pi\) -périodique.
- \( \bullet\)
- On défini les coefficients de Fourier complexes de \( f\) par la formule
\[\gamma_m=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-imt}\ dt\]
- \( \bullet\)
- On défini la série de Fourier complexe de \( f\) noté \( S_F(f)\) la fonction définie sur \( \R\) par
\[S_F(f)(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_ne^{int}\]
Par exemple pour notre signal \( s\) de l'introduction, nous avons
\begin{eqnarray*}
\gamma_0
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(t)\ dt\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}1\ dt\\
&=&\dfrac{1}{2}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\gamma_m
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(t)e^{-imt}\ dt\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}e^{-imt}\ dt\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}\left[\dfrac{e^{-imt}}{-im}\right]_0^\pi\\
&=&\dfrac{1}{2\pi}\left(\dfrac{1-(-1)^m}{im}\right)\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \text{si }m=2k\\
\dfrac{1}{2\pi}\dfrac{2}{i(2k+1)} & \text{si }m=2k+1
\end{array}
\right.\\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \text{si }m=2k\\
\dfrac{1}{i(2k+1)\pi} & \text{si }m=2k+1
\end{array}
\right.\\
\end{eqnarray*}
En particulier on observe que \( \gamma_{-n}=-\gamma_n\) . Ainsi
\begin{eqnarray*}
S_F(s)(t)
&=&\sum_{n=-\infty}^\infty \gamma_ne^{int}\\
&=&\underbrace{\sum_{n=-\infty}^{-1} \gamma_ne^{int}} + \gamma_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_ne^{int}\\
&=&{\sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_{-n}e^{-int}} + \gamma_0+\sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_ne^{int}\\
&=&\gamma_0 + \sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_{-n}e^{-int} + \gamma_ne^{int}\\
&=&\dfrac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} -\gamma_{n}e^{-int} + \gamma_ne^{int}\\
&=&\dfrac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_{n}(e^{int}-e^{-int}) \\
&=&\dfrac{1}{2} + \sum_{n=1}^{+\infty} \gamma_{n}2isin(nt) \\
&=&\dfrac{1}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{1}{i(2k+1)\pi}2isin((2k+1)t) \\
&=&\dfrac{1}{2} + \sum_{k=0}^{+\infty} \dfrac{2}{(2k+1)\pi}sin((2k+1)t)
\end{eqnarray*}
Et c'est incroyable mais on obtient la même expressions qu'avec le développement réel.
