Équations trigonométriques

On cherche à résoudre des équations de la forme \( cos(x)=0.7\) ou \( sin(x)=\dfrac{1}{2}\) . Raisonnons sur cette dernière. Pour résoudre ces équations faisant intervenir des sinus ou cosinus est l'éternel cercle trigonométrique. Le cosinus se lit sur l'axe des abscisses et le sinus sur l'axe des ordonnées. Su le cercle trigonométrique, on voit que l'équation \( sin(x)=\dfrac{1}{2}\) admet deux solutions, dont le formulaire nous souffle qu'il s'agit de \( \dfrac{\pi}{6}\) et \( \dfrac{5\pi}{6}\) . Voilà, c'est fini... Ah ! Non ! Car sur le cercle trigonométrique l'angle \( \dfrac{\pi}{6}\) et l'angle \( \dfrac{13\pi}{6}\) sont positionnés au même endroit. Précisément \( \dfrac{\pi}{6}\equiv_{2\pi}\dfrac{13\pi}{6}\) . En d'autre terme on a fait un tour de cercle puisque \( \dfrac{13\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}+2\pi\) . Pourquoi s'arrêter à un tour, on pourrait en faire \( 2\) ou \( 1983\) , le sinus vaudrait toujours \( \dfrac{1}{2}\) . Une manière élégante (pompeuse) d'écrire toutes les solutions est donc la suivante Les solutions de l'équation \( sin(x)=\dfrac{1}{2}\) sont de la forme \( x_{1,k}=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\) et \( x_{2,k}=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\) où \( k\in \Z\) . Imaginons à présent que l'on souhaite trouver toutes les solutions de l'équation \( sin(x)=\dfrac{1}{2}\) avec \( x\in\left[16\pi ; \dfrac{33\pi}{2}\right[\) . Puisque nous avons trouver toutes les solutions (dans \( \R\) ), le problème revient à trouver quel \( k\in\Z\) il faut choisir. Prenons la première forme \( x_{1,k}\) . Il s'agit donc de trouver \( k\) pour avoir \( x_{1,k}\in\left[16\pi ; \dfrac{33\pi}{2}\right[\) . \begin{eqnarray*} x_{1,k}\in\left[16\pi ; \dfrac{33\pi}{2}\right[ &\Leftrightarrow& 16\pi\leqslant x_{1,k}\leqslant\dfrac{33\pi}{2}\\ &\Leftrightarrow& 16\pi\leqslant \dfrac{\pi}{6}+2k\pi\leqslant\dfrac{33\pi}{2}\\ &\Leftrightarrow& 16\pi-\dfrac{\pi}{6}\leqslant 2k\pi\leqslant\dfrac{33\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{95\pi}{6}\leqslant 2k\pi\leqslant\dfrac{98\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{95}{6}\leqslant 2k\leqslant\dfrac{98}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{95}{12}\leqslant k\leqslant\dfrac{98}{12} \end{eqnarray*} A l'aide de la calculatrice, on observe que \( \dfrac{95}{12}\simeq7.92\) et \( \dfrac{98}{12}\simeq8.17\) . Or, \( k\) doit être un nombre entier. Le seul nombre entier entre \( 7.92\) et \( 8.17\) est le nombre \( 8\) . Il faut donc choisir le nombre \( k=8\) . Dans ce cas la solution est \[x_1=\dfrac{\pi}{6}+2\times8\pi=\dfrac{97\pi}{6}\] Prenons à présent la seconde forme \( x_{2,k}\) et raisonnons de la même manière. \begin{eqnarray*} x_{2,k}\in\left[16\pi ; \dfrac{33\pi}{2}\right[ &\Leftrightarrow& 16\pi\leqslant x_{2,k}\leqslant\dfrac{33\pi}{2}\\ &\Leftrightarrow& 16\pi\leqslant \dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\leqslant\dfrac{33\pi}{2}\\ &\Leftrightarrow& 16\pi-\dfrac{5\pi}{6}\leqslant 2k\pi\leqslant\dfrac{33\pi}{2}-\dfrac{5\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{91\pi}{6}\leqslant 2k\pi\leqslant\dfrac{94\pi}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{91}{6}\leqslant 2k\leqslant\dfrac{94}{6}\\ &\Leftrightarrow& \dfrac{91}{12}\leqslant k\leqslant\dfrac{94}{12} \end{eqnarray*} Mais \( \dfrac{91}{12}\simeq7.58\) et \( \dfrac{94}{12}\simeq7.83\) . Dans ce cas, il n'existe aucun nombre entier \( k\) satisfaisant cette inéquation. En conclusion, \[ \left. \begin{array}{r} sin(x)=\dfrac{1}{2}\\ x\in\left[16\pi ; \dfrac{33\pi}{2}\right[ \end{array} \right\}\Longrightarrow x=\dfrac{97\pi}{6} \] Prenons un autre exemple et cherchons à résoudre l'équation \( cos(x)=1\) . Exactement comme précédemment, on utilise le cercle trigonométrique pour voir ce qui se passe. Su le cercle trigonométrique, on voit que l'équation \( cos(x)=1\) admet une unique solution à savoir \( x=0\) . Comme précédemment, on peut "tourner", ce qui se traduit par l'ajout de \( +2k\pi\) . En conclusion l'équation \( cos(x)=1\) admet pour solution \[x_k=2k\pi\] Le même type de manipulation permet, si l'intervalle est spécifié, de trouver des solutions spécifiques. Que dire de l'équation \( cos(x)=1.01\) ? On observe sur le dessin, qu'il n'y a, dans ce cas, aucune intersection entre la droite \( x=1.01\) et le cercle trigonométrique et donc l'équation \( cos(x)=1.01\) n'admet aucune solution. Faisons un cours de mathématiques avec un théorème (que nous venons de démontrer en partie par les exemples précédent). Dans la pratique on n'utilise pas ces théorèmes mais plutôt la méthode décrite dans les exemples précédents (le cercle trigonométrique est votre meilleur ami !).

Inéquations trigonométriques

A présent on cherche à résoudre une inéquation de la forme \( cos(x)\geqslant\dfrac{1}{2}\) . Encore une fois, un dessin éclaire la situation. Sur le dessin, il apparait clairement que touts les angles de l'intervalle \( \left[-\dfrac{\pi}{3} ; \dfrac{\pi}{3}\right]\) ont leur cosinus supérieur ou égale à \( \dfrac{1}{2}\) . Exactement comme précédemment, il faut "penser" à tourner. En conclusion, toutes les solution réelles sont des intervalles de la forme \[\left[-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi ; \dfrac{\pi}{3}+2k\pi\right]\] pour \( k\in \Z\) . Attention, lorsque l'on décrit un intervalle \( [a ; b]\) il faut que \( a{<}b\) . Prenons à présent l'inéquation \( sin(x){>} -\dfrac{1}{2}\) . A l'aide du dessin on serait tenté d'écrire qu'un intervalle solution est \( \left]-\dfrac{\pi}{6} ; -\dfrac{5\pi}{6}\right[\) mais dans ce cas, la borne inférieur de cet intervalle est plus grande que la borne supérieur. C'est une erreur. Il faut soit écrire \( \left]-\dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{7\pi}{6}\right[\) où \( \left]-\dfrac{13\pi}{6} ; -\dfrac{5\pi}{6}\right[\) pour respecter les intervalles.