Imaginons un cercle centré en l'origine de rayon \( 10\) et un point qui tourne sur ce cercle à une vitesse constante de \( 1\) (selon l'unité de mesure).
Et imaginons à présent qu'autour de ce point se trouve un cercle de rayon \( 3\) autour duquel gravite un point qui tourne deux fois plus vite.
Observons le dessin que cela fait sur une période entière (entre \( [0 ; 2\pi[\) par exemple) :
Quel magnifique dessin. Cette courbe est appelé une
épicycloïde ! Mais quelles sont les coordonnées des points de cette courbe.
Tout d'abord, les coordonnées du points \( A\) sont \( (10cos(t), 10sin(t))\) (presque par définition des fonctions trigonométriques \( sin\) et \( cos\) ).
Plaçons nous sur le point \( A(t)\) . Par rapport à ce point le point \( B(t)\) se trouve sur le cercle de rayon \( 3\) , mais va deux fois plus vite ; plus savamment dis : sa vitesse angulaire est le double de celle du point \( A(t)\) . Donc, par rapport au point \( A(t)\) les coordonnées de \( B(t)\) sont \( (3cos(2t), 3sin(2t))\) .
Ainsi de manière absolue, par rapport à l'origine, les coordonnées de cet
épicycloïde, sont
\[(10cos(t)+3cos(2t), 10sin(t)+3sin(2t))\]
Si on s'amuse à faire varier les rayons et les vitesses angulaires on peut tomber sur de joli dessin :
La
ranonculoïde en forme de fleur.
Le premier cercle de rayon \( 2\) et de vitesse \( 1\) .
Le second cercle de rayon \( 1\) et de vitesse \( 6\) .
La
deltoïde en forme de delta.
Le premier cercle de rayon \( 2\) et de vitesse \( 1\) .
Le second cercle de rayon \( 1\) et de vitesse \( -2\) .
Et pourquoi s'arrêter a deux cercles !
Imaginons qu'un troisième cercle gravite autour du point \( B\) , de rayon \( 1\) et de vitesse \( 5\) . Voici ce que l'on obtient :
Dont les coordonnées s'obtiennent de la même manière que précédemment :
\[C(t)=(10cos(t)+3cos(2t)+1cos(5t), 10sin(t)+3sin(2t)+1cos(5t))\]
Et la encore, on peut s'amuser à faire varier rayons et vitesse pour obtenir de joli dessin... ou pas !
La
cardioïde en forme de cœur.
Le premier cercle de rayon \( 10\) et de vitesse \( 1\) .
Le second cercle de rayon \( 5\) et de vitesse \( 2\) .
Le troisième cercle de rayon \( 1\) et de vitesse \( -1\) .
La
trucoïde en forme de truc.
Le premier cercle de rayon \( 10\) et de vitesse \( -1\) .
Le second cercle de rayon \( 1\) et de vitesse \( 10\) .
Le troisième cercle de rayon \( 1\) et de vitesse \( 1\) .
Vous aurez compris que l'on peut procéder avec autant de cercle que l'on souhaite ! Mais prenons le problème à l'envers.
Etant donné un dessin, peut-on trouver des cercles tournoyant réalisant ce dessin ?
La réponse est oui ! Et c'est ce qui va nous motiver tout au long de ce cours : faire un dessin !
Le concept mathématique qui garantie que cela est possible est une théorie très vaste appelé la
théorie de Fourier.
Par exemple, si on diminue le nombre de cercle qui approche le dessin, on perd en qualité de la reproduction de cette image. C'est avec ce principe que l'on réalise des compression d'image (on supprime des cercles, cela modifie la qualité mais allège la quantité d'information qu'elle contient).
Vous l'aurez compris, pour arriver à de si magnifique prouesse, il faut de la trigonométrie, beaucoup de trigonométrie... En route !
