Définition
Soit \( OAB\) un triangle rectangle en \( A\) . Notons \( x\) l'angle \( \widehat{AOB}\) .
- \( \bullet\)
- Le cosinus de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{OA}{OB}\) .
- \( \bullet\)
- Le sinus de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{AB}{OB}\) .
- \( \bullet\)
- La tangente de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{AB}{OA}\) .
Voici un fameux moyen mnémotechnique pour retenir ces formules :
CASSE TOI
Quelques explications s'impose :
- \( \bullet\)
- Dans un triangle rectangle le plus grand des cotés est appelé l'hypoténuse.
- \( \bullet\)
- Le coté adjacent à l'angle \( x\) est \( OA\) . C'est le coté adjacent à l'angle \( x\) et l'angle droit.
- \( \bullet\)
- Le coté opposé à l'angle \( x\) est \( AB\) . C'est le coté qui est "en face" de l'angle \( x\) .
L'angle opposé à \( x\) est adjacent à \( y\) et inversement.
Le fameux
casse toi s'écrit
CAH SOH TOA :
- CAH :
- le Cosinus est le rapport du coté Adjacent par l'Hypoténuse.
- SOH :
- le Sinus est le rapport du coté Opposé par l'Hypoténuse.
- TOA :
- la Tangente est le rapport du coté Opposé par le coté Adjacent.
Nous n'allons pas plus surcharger ce cours déjà très empreinte de géométrie, mais sans trop souffrir et à l'aide du théorème de Thalès, on peut montrer que les longueur des cotés n'importe pas. Seule les mesures des angles sont importants. Puisque c'est ainsi, on va considérer, pour travailler avec ces objets, des triangles rectangles dont l'hypoténuse fait \( 1\) , ainsi nous n'aurons plus à utiliser des fractions pour le cosinus et le sinus.
Faisons tout de suite le liens avec le cercle trigonométrique.
En appliquant les formules, on a \( cos(x)=\dfrac{OA}{OB}\) mais \( OB\) est un rayon du cercle trigonométrique, qui est par définition de rayon \( 1\) . Donc \( cos(x)=OA\) .
De même \( sin(x)=\dfrac{AB}{OB}=AB=OC\) .
Ainsi le cosinus et le sinus d'un angle représentent respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection entre le cercle trigonométrique et le droite formant l'angle souhaité avec l'axe des abscisses.
On observe alors que \( tan(x)=\dfrac{sin(x)}{cos(x)}\) . On va donc mettre cette fonction de coté et nous concentrer sur le deux autres.
