Nous souhaitons résoudre l'équation \( cos(x)=0.1\) . D'après ce que nous avons vu dans le chapitre sur les équations trigonométrique, cette équations admet deux solutions sur \( [-\pi, \pi]\) dont toutes les solutions réelles se déduisent par des tours de cercles (\( +2k\pi\) ).
Dans les exemples que nous avons traités, cela tombait toujours sur des valeurs dont nous connaissions l'expression. Mais dans ce cas nous ne connaissons par la valeur de \( x\) tel que \( cos(x)=0.1\) .
Elle(s) existe(nt) mais nous ne savons pas les exprimer.
Utilisons les fonctions réciproques.
Définition [La fonction \( Arccos\) ]
La fonction \( cos\) est strictement décroissante sur \( [0, \pi]\) à valeur dans \( [-1; 1]\) . Elle admet donc une fonction réciproque notée \( Arccos\) .
\begin{eqnarray*}
cos : [0; \pi] &\longrightarrow&[-1 ; 1]\\
Arccos : [-1; 1] &\longrightarrow&[0 ; \pi]
\end{eqnarray*}
En particulier
\[\forall x\in[0 ; \pi], \\ Arccos(cos(x))=x\]
\[\forall y\in[-1 ; 1], \\ cos(Arccos(y))=y\]
En d'autre terme l'arc cosinus d'une valeur \( a\) entre \( -1\) et \( 1\) est un angle \( \vartheta\) nécessairement entre \( 0\) et \( \pi\) qui vérifie \( cos(\vartheta)=a\) .
Par exemple, en s'appuyant sur les valeurs connue du cosinus, on a \( Arccos(0.5)=\dfrac{\pi}{3}\) .
Voyons à présent comment résoudre l'équation \( cos(x)=0.1\) . On sait qu'il existe deux solutions. L'une d'elle, celle entre \( 0\) et \( \pi\) est \( Arccos(0.1)\) . L'autre est son opposé, c'est à dire \( -Arccos(0.1)\) . En conclusion, toutes les solutions réelles de l'équation \( cos(x)=0.1\) sont
\[x_{1,k}=Arccos(0.1)+2k\pi,\qquad x_{2,k}=-Arccos(0.1)+2k\pi\]
Comment calculer \( Arccos(0.1)\) ? Une seule solution : la calculatrice ! Elle nous donne \( Arccos(0.1)\simeq 1.47\)
On peut d'ailleurs enrichir le théorème donnant toutes les solutions d'une équation trigonométrique en cosinus.
Corollaire
L'ensemble des solutions de l'équation \( cos(x)=a\in]-1 ; 1[\) sont de la forme
\[x_{1,k}=Arccos(a)+2k\pi,\qquad x_{2,k}=-Arccos(a)+2k\pi\]
Tout ce qui viens d'être fait pour le cosinus a son pendant pour le sinus.
Définition [La fonction \( Arcsin\) ]
La fonction \( sin\) est strictement croissante sur \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]\) à valeur dans \( [-1; 1]\) . Elle admet donc une fonction réciproque notée \( Arcsin\) .
\begin{eqnarray*}
sin : \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right] &\longrightarrow&[-1 ; 1]\\
Arcsin : [-1; 1] &\longrightarrow&\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]
\end{eqnarray*}
En particulier
\[\forall x\in\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right], \\ Arcsin(sin(x))=x\]
\[\forall y\in[-1 ; 1], \\ sin(Arcsin(y))=y\]
Corollaire
L'ensemble des solutions de l'équation \( sin(x)=a\in]-1 ; 1[\) sont de la forme
\[x_{1,k}=Arcsin(a)+2k\pi,\qquad x_{2,k}=\pi-Arcsin(a)+2k\pi\]
Nos avions laisser de coté la fonction tangente mais on peut aussi considérer sa fonction réciproque.
Définition [La fonction \( Arctan\) ]
La fonction \( tan\) est strictement croissante sur \( \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[\) à valeur dans \( \R\) . Elle admet donc une fonction réciproque notée \( Arctan\) .
\begin{eqnarray*}
tan : \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[ &\longrightarrow&[-1 ; 1]\\
Arctan : \R &\longrightarrow&\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[
\end{eqnarray*}
En particulier
\[\forall x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[, \\ Arctan(tan(x))=x\]
\[\forall y\in\R, \\ tan(Arctan(y))=y\]
