Asymptotes
Qu'est-ce qu'une asymptote ?
Étymologiquement, le mot
asymptote viens de l'ancien grec asùmptôtos signifiant "
qui ne s'affaisse pas" ou "
qui ne coïncide pas".
Dans le cadre mathématiques, une asymptote donne une information infinitésimale de l'objet d'étude. Dans notre contexte, l'objet d'étude est
la fonction ou plus précisément l'objet géométrique qui en découle : sa courbe représentative. Obtenir une information asymptotique permet de simplifier la compréhension de la courbe.
Nous ne nous intéresserons qu'aux droites asymptotes. On en distingue trois :
- Asymptote horizontale, d'équation \( y=b\)
- Asymptote verticale, d'équation \( x=a\)
- Asymptote oblique, d'équation \( y=ax+b\)
Dans la suite on considère \( \mathcal{C}_f\) la courbe représentative d'une fonction \( f\) . Attention, on parle d'asymptote à une courbe qui est un objet de la géométrie et non de la fonction \( f\) qui est un objet de l'analyse.
Asymptote horizontale
Définition
- \( \bullet\)
- On dira que la droite \( y=b\) est une asymptote horizontale en \( -\infty\) si \( \lim{x\rightarrow-\infty}f(x)=b\) .
- \( \bullet\)
- On dira que la droite \( y=b\) est une asymptote horizontale en \( +\infty\) si \( \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)=b\) .
Il est bien sur possible qu'un asymptote en \( -\infty\) soit aussi une asymptote en \( +\infty\) .
Considérons la fonction \( f(x)=\dfrac{x}{x-1}\) . On trouve assez rapidement \( \lim{x\rightarrow\pm\infty}\dfrac{x}{x-1}=1\) . Donc \( y=1\) est une asymptote horizontale à la courbe. Sur la graphique on a :
Asymptote verticale
Définition
On dira la droite \( x=a\) est une asymptote verticale si \( \lim{x\rightarrow a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\) .
Reprenons l'exemple précédent avec \( f(x)=\dfrac{x}{x-1}\) . On vois assez rapidement que \( \lim{x\rightarrow 1^+}f(x)=+\infty\) et \( \lim{x\rightarrow 1^-}f(x)=-\infty\) . On en déduit donc que la droite \( x=1\) est une asymptote verticale à \( \mathcal{C_f}\) . Sur le dessin cela donne
Asymptote oblique
Définition
- \( \bullet\)
- On dira que la droite \( y=ax+b\) est une asymptote oblique en \( -\infty\) si \( \lim{x\rightarrow-\infty}f(x)-(ax+b)=0\) .
- \( \bullet\)
- On dira que la droite \( y=ax+b\) est une asymptote oblique en \( +\infty\) si \( \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)-(ax+b)=0\) .
Considérons la fonction \( f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x+1}\) et montrons que la droite \( y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\) est une asymptote oblique en \( +\infty\) (et aussi en \( -\infty\) ).
\begin{eqnarray*}
f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\right)
&=&\dfrac{x^2-1}{2x+1}-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}\\
&=&\dfrac{4(x^2-1)}{4(2x+1)}-\dfrac{2x(2x+1)}{4(2x+1)}+\dfrac{2x+1}{4(2x+1)}\\
&=&\dfrac{4(x^2-1)-2x(2x+1)+(2x+1)}{4(2x+1)}\\
&=&\dfrac{4x^2-4-4x^2-2x+2x+1}{4(2x+1)}\\
&=&\dfrac{-3}{4(2x+1)}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( \lim{x\rightarrow\infty}f(x)-\left(\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\right)=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{-3}{4(2x+1)}=0\) ce qui prouve que la droite \( y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\) est une asymptote oblique.
Déterminer une asymptote oblique
Intéressons nous de plus près aux asymptotes obliques. Dans l'exemple précédent, l'asymptote a été donné. La seule chose à vérifier c'est que la différence tendait bien vers 0. Nous allons ici détailler la méthode permettant de déterminer l'équation d'une asymptote oblique. On notera simplement \( \infty\) pour les calculs de limite sans préciser \( +\) ou \( -\) , les résultat étant les même.
Théorème
- Si
- \( \lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a\) alors
- Si
- \( \lim{x\rightarrow\infty}f(x)-ax=b\) alors la droite \( y=ax+b\) est une asymptote oblique
- Sinon
- la courbe n'admet pas de droite asymptote oblique.
- Sinon
- la courbe n'admet pas de droite asymptote oblique.
Reprenons l'exemple précédent avec la fonction \( f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x+1}\) .
La première étape est de calculer la limite de \( \dfrac{f(x)}{x}\) .
\[\dfrac{f(x)}{x}=\dfrac{\dfrac{x^2-1}{2x+1}}{x}=\dfrac{x^2-1}{2x^2+x}\]
Et \( \lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2+x}=\dfrac{1}{2}\) .
La seconde étape consiste à calculer la limite de \( f(x)-ax\)
\[f(x)-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{x^2-1}{2x+1}-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{2(x^2-1)-x(2x+1)}{2(2x+1)}=\dfrac{2x^2-2-2x^2-x}{4x+2}=\dfrac{-2-x}{4x+2}\]
Et \( \lim{x\rightarrow\infty}f(x)-\dfrac{1}{2}x=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{-2-x}{4x+2}=-\dfrac{1}{4}\) ce qui prouve que \( y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\) est une asymptote oblique à la courbe représentative de \( f\) .
Des asymptotes qui ne sont pas des droites
Cette partie est hors programme
Être asymptote c'est être comme la courbe mais en plus simple. Dans l'exemple précédent la fonction "difficile" \( f(x)=\dfrac{x^2-1}{2x+1}\) va se comporter en l'infini comme la droite \( y=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\) .
Il est possible que ça ne soit pas des droites mais d'autre type de courbes (dans l'idéal plus simple). La définition reste la même.
Définition
- \( \bullet\)
- On dira qu'une courbe \( \mathcal{C}_g\) d'une fonction \( g\) est asymptote en \( -\infty\) si \( \lim{x\rightarrow-\infty}f(x)-g(x)=0\) .
- \( \bullet\)
- On dira qu'une courbe \( \mathcal{C}_g\) d'une fonction \( g\) est asymptote en \( +\infty\) si \( \lim{x\rightarrow+\infty}f(x)-g(x)=0\) .
Prenons par exemple la fonction \( f(x)=\dfrac{x^3}{x-1}\) et montrons \( g(x)=x^2+x+1\) est une parabole asymptote.
\begin{eqnarray*}
f(x)-g(x)
&=&\dfrac{x^3}{x-1}-(x^2+x+1)\\
&=&\dfrac{x^3}{x-1}-\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}\\
&=&\dfrac{x^3}{x-1}-\dfrac{x^3-1}{x-1}\\
&=&\dfrac{x^3-x^3+1}{x-1}\\
&=&\dfrac{1}{x-1}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( \lim{x\rightarrow\infty}f(x)-g(x)=\lim{x\rightarrow\infty}\dfrac{1}{x-1}=0\)
