Exponentielle
Définition et premières propriétés
Il est indispensable d'avoir assimiler le cours sur les logarithmes pour pouvoir suivre ce cours sur les exponentielles. Ici tout sera beaucoup plus rapide que le précédent chapitre. Pas que nous souhaitons bâcler le travail mais plutôt que nous allons entièrement nous appuyer sur la fonction logarithme, raison pour laquelle nous insistons sur son assimilation.
D'ailleurs à la fin du cours sur le logarithme, avec l'aide du théorème des valeurs intermédiaire, nous avions observer que l'équation \( ln(x)=1\) admettait une unique solution que l'on note \( e\) et dont la valeur approchée, estimée à l'aide d'un ordinateur, est \( 2.71828\) .
Qu'en est-il de manière générale de l'équation \( ln(x)=a\) pour n'importe quelle nombre réel \( a\) ? D'après le théorème des valeurs intermédiaire, il existe une unique solution.
Définition
Pour tout nombre réel \( a\) on note \( exp(a)\) l'unique solution de l'équation \( ln(x)=a\) . On l'appel exponentielle de \( a\) .
On a immédiatement les propriétés suivantes.
Proposition
- Quelque soit le réel \( a\) , \( exp(a){>}0\) .
- \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( exp(a){>}1\) .
Démonstration
- Puisque \( ln(exp(a))=a\) , le nombre \( exp(a)\) appartient au domaine de définition de \( ln\) qui est \( ]0 ; +\infty[\) . Dis autrement \( exp(a){>}0\) .
- Puisque \( ln(1)=0=ln(exp(0))\) alors \( exp(0)=1\) .
- Si \( a{<}0\) alors \( ln(exp(a))=a{<}0=ln(1)\) donc \( exp(a){<}1\) .
- Si \( a{>}0\) alors \( ln(exp(a))=a{>}0=ln(1)\) donc \( exp(a){>}1\) .
La fonction exponentielle
Considérons la fonction exponentielle, définie sur \( \mathbb{R}\) . Par construction \( ln(exp(x))=x\) .
Théorème
Pour tout \( x\in \R\) , on considère la fonction \( f(x)=exp(x)\) .
\[f'(x)=exp(x)\]
Démonstration
On sait que \( ln(exp(x))=x\) . En dérivant des deux cotés de cette égalité on obtient
\[(ln(exp(x)))'=(x)'\qquad\Rightarrow\quad\dfrac{exp'(x)}{exp(x)}=1\quad\Rightarrow\quad exp'(x)=exp(x)\]
Corollaire
Soit \( u\) une fonction définie sur un domaine \( D\) . Pour tout \( x\in D\) on pose \( f(x)=exp(u(x))\) .
\[f'(x)=exp(u(x))\times u'(x)\]
Démonstration
Il s'agit de la formule de dérivation de la composée.
Si par exemple \( f(x)=exp(x^2+1)\) alors \( f'(x)=2x exp(x^2-1)\) .
Corollaire
La fonction exponentielle est strictement croissance sur \( \R\) .
Démonstration
Ceci est une conséquence de la positivité de sa dérivée (dans le premier paragraphe nous avions observé que \( exp(x)\) était strictement positif pour tout \( x\) ).
Limites et croissances comparées
Théorème
Quelque soit les nombres réels \( a\) et \( b\) :
\[exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\]
Démonstration
\begin{eqnarray*}
ln(exp(a+b))&=&a+b\\
&=&ln(exp(a))+ln(exp(b))\\
&=&ln(exp(a)\times exp(b))\quad\text{Propriété du logarithme}
\end{eqnarray*}
Puisque \( ln(exp(a+b))=ln(exp(a)\times exp(b))\) alors \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\)
Corollaire
Soient \( a\) et \( b\) deux nombres réels.
- \( exp(a-b)=\dfrac{exp(a)}{exp(b)}\)
- \( exp(-a)=\dfrac{1}{exp(a)}\)
- \( exp\left(\frac{a}{2}\right)=\sqrt{exp(a)}\)
- \( \left(exp(a)\right)^n=exp(na)\)
Démonstration
Il suffit, encore une fois de repasser par la fonction logarithme.
Corollaire
\[\lim{x\rightarrow-\infty}exp(x)=0\qquad
\lim{x\rightarrow+\infty}exp(x)=+\infty\]
Démonstration
Détachons nous un peu de la fonction logarithme et travaillons un peu avec l'exponentielle et ses propriétés.
\[\lim{x\rightarrow+\infty}exp(x)\overset{x=n}{=}
\lim{n\rightarrow+\infty}exp(n)
=\lim{n\rightarrow+\infty}(exp(1))^n\]
Il s'agit de la limite d'une suite géométrique de raison \( exp(1){>}2\) . La limite est donc \( +\infty\) .
Pour la seconde limite :
\[\lim{x\rightarrow-\infty}exp(x)\overset{X=-x}{=}
\lim{X\rightarrow+\infty}exp(-X)
=\lim{X\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{exp(X)}
=\dfrac{1}{+\infty}=0\]
Corollaire
Soit \( \alpha{>}0\) .
\[\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{exp(x)}{x^\alpha}=+\infty\qquad
\lim{x\rightarrow-\infty}x^\alpha exp(x)=0
\]
Démonstration
On s'appuie sur le théorème des croissances comparées de la fonction logarithme en effectuant le changement de variable \( X=exp(x)\) donc \( ln(X)=x\) .
\[
\lim{x\rightarrow-\infty}x^\alpha exp(x)\overset{X=exp(x)}{=}
\lim{X\rightarrow 0}(ln(X))^\alpha X
=\lim{X\rightarrow 0}\left(ln(X)X^\frac{1}{\alpha}\right)^\alpha
=0
\]
Finalement
\[\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{exp(x)}{x^\alpha}\overset{X=-x}{=}
\lim{X\rightarrow-\infty}\dfrac{exp(-x)}{(-x)^\alpha}
=\lim{X\rightarrow-\infty}\dfrac{1}{exp(x)(-x)^\alpha}
=\dfrac{1}{0^+}=+\infty
\]
Proposition
\[\lim{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1\]
Démonstration
Il s'agit de réécrire la définition de la dérivé de la fonction \( exp\) en \( 0\) :
\[exp'(0)=\lim{x\rightarrow0}\dfrac{exp(x)-exp(x)}{x-0}\]
Sachant que \( exp'(0)=exp(0)=1\) on prouve le résultat.
Pour finir donnons la représentation de l'exponentielle.
De \( exp(x)\) à \( e^x\)
Tout est dans le titre. On observe que les formules et propriétés de l'exponentielle sont étrangement similaire à celle des puissances. Par exemple d'un coté on \( exp(a+b)=exp(a)\times exp(b)\) et d'un autre coté \( 10^{n+m}=10^n10^m\) ... du coup on se demande si il n'y a pas un liens entre nos familières puissances et l'exponentielle. La réponse est oui par une très simple observation : \[ln(exp(x))=x=x\times 1=x\times ln(e)=ln(e^x)\]
d'après les règles de calcul sur le logarithme.
Cette égalité implique donc que \( exp(x)=e^x\) et ce pour tous les \( x\) réel. Autant \( 10^n\) n'était définie que pour des \( n\) entiers autant \( e^x=exp(x)\) est définie pour tous les nombres réels !
D'ailleurs on pourrait s'amuser à définir \( 10^x\) pour n'importe quel \( x\) réelle. Tenté ? Allez on y va ! On a besoin d'un petit super pouvoir avant tout.
L'équilibre entre logarithme et exponentielle que l'on observe à travers la formule \( ln(exp(x))=x\) se retrouve dans la formule réciproque.
Théorème
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[exp(ln(x))=x\]
Démonstration
On rappel que si \( ln(A)=ln(B)\) alors \( A=B\) .
Par définition de l'exponentielle \( ln(exp(\text{n'importe quoi}))=\text{n'importe quoi}\) . Prenons \( ln(x)\) pour n'importe quoi :
\[ln(exp(ln(x)))=ln(x)\]
Nous sommes bien dans la configuration \( ln(A)=ln(B)\) pour \( A=exp(ln(x))\) et \( B=x\) ce qui permet de conclure.
Du coup quelle sens donner à \( 10^x\) ? Grâce à cette formule, on peut écrire que \( 10^x=exp(ln(10^x))\) sauf que le logarithme gère très bien les puissances : \( ln(10^x)=xln(10)\) . On a \( 10^x=exp(xln(10))\) et l'exponentielle ne soufre d'aucun problème de définition. Ca y est ! On a défini \( 10^x\) . Pourquoi s'arrêterait-on en si bon chemin ?
Définition
Soit \( a{>}0\) et \( b\in\R\) . On défini \( a^b\) par la formule :
\[a^b=exp(b ln(a))=e^{b ln(a)}\]
Le calcul quant à lui se fait à l'aide d'une calculatrice, mais à présent des expressions comme \( 2^{\sqrt{2}}\) ont un sens.
Un exemple
Étudions la fonction \( f(x)=\dfrac{x^2}{e^x-1}\) . Commençons par déterminer son domaine de définition. Pour que \( f\) soit définie, il faut et il suffit que son dénominateur soit non nul. Lé dénominateur est nul lorsque \( e^x-1=0\) soit encore \( e^x=1\) . En prenant le logarithme des deux cotés on trouve \( x=0\) . En conclusion \[\mathscr{D}_f=\R^*\overset{def}{=}]-\infty ; 0[\cup]0; +\infty[\]
Calculons à présent les limites de \( f\) au bord de son domaine de définition.
- Limite en \( +\infty\) .
- On observe que \( f(x)=\dfrac{1}{\dfrac{e^x-1}{x^2}}=\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}\) . En utilisant le théorème des croissances comparées on trouve que
\[\lim{x\rightarrow+\infty}f(x)=
\lim{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{+\infty-0}=0\]
- Limite en \( -\infty\) .
- Il n'y a aucune forme indéterminée.
\[\lim{x\rightarrow-\infty}\dfrac{x^2}{e^x-1}=
\dfrac{+\infty}{0-1}=-\infty\].
- Limite en \( 0^\pm\) .
- On utilise la dernière limite étudiée sur la fonction exponentielle :
\[\lim{x\rightarrow0^\pm}\dfrac{x^2}{e^x-1}
=\lim{x\rightarrow0^\pm}x\dfrac{x}{e^x-1}
=\lim{x\rightarrow0^\pm}x\dfrac{1}{\dfrac{e^x-1}{x}}
=0\times\dfrac{1}{1}
=0
\]
Déterminons à présent sa dérivé. La fonction \( f\) est de la forme \( \dfrac{u}{v}\) où \( u=x^2\) donc \( u'=2x\) et \( v=e^x-1\) donc \( v'=e^x\) .
Finalement
\begin{eqnarray*}
f'(x)&=&\dfrac{u'v-v'u}{v^2}\\
&=&\dfrac{2x(e^x-1)-e^xx^2}{(e^x-1)^2}\\
&=&\dfrac{x[2(e^x-1)-e^xx]}{(e^x-1)^2}\\
&=&\dfrac{x[2e^x-2-e^xx]}{(e^x-1)^2}\\
&=&\dfrac{x[e^x(2-x)-2]}{(e^x-1)^2}\\
\end{eqnarray*}
Pour pouvoir comprendre davantage le numérateur on étudie la fonction \( g(x)=e^x(2-x)-2\) dont le lien avec \( f\) est \( f'(x)=\dfrac{xg(x)}{(e^x-1)^2}\) .
Pour cela, on la dérive pour obtenir, par la dérivé du produit, \( g'(x)=e^x(2-x)+e^x(-1)=e^x(1-x)\) qui aura donc le même signe que \( 1-x\) puisque l'exponentielle est strictement positive.
Voici comment c'est construit ce tableau.
- A la première ligne on inscrit le signe de \( g'\) qui est le signe de \( 1-x\) .
- On en déduit les variations de \( g\) en observant de plus que \( g(0)=0\) , \( g(1)=e(2-1)-2=e-2{>}0\) et \( \lim{x\rightarrow+\infty}g(x)
\lim{x\rightarrow+\infty}e^x(2-x)-2=-\infty\) .
- La fonction \( g\) étant continue et strictement monotone sur \( [1; +\infty[\) on en déduit qu'il existe un unique \( \alpha\) tel que \( g(\alpha)=0\) . A l'aide de la calculatrice, on a \( 1.593{<}\alpha{<}1.594\) .
- Grâce à cette étude on en déduite que \( g\) est positive sur \( [0,\alpha]\) et négative partout ailleurs.
- On adjoins le signe de \( x\) pour déterminer le signe de \( f'(x)=\dfrac{x g(x)}{(e^x-1)^2}\) .
- On en déduit le variations de \( f\) .
- Par construction on sait que \( g(\alpha)=0\) autrement dis \( e^\alpha(2-\alpha)-2=0\) soit \( e^\alpha=\dfrac{2}{2-\alpha}\) . D'où
\begin{eqnarray*}
f(\alpha)&=&
\dfrac{\alpha^2}{e^\alpha-1}\\
&=&\dfrac{\alpha^2}{\dfrac{2}{2-\alpha}-1}\\
&=&\dfrac{\alpha^2}{\dfrac{2-(2-\alpha)}{2-\alpha}}\\
&=&\dfrac{\alpha^2(2-\alpha)}{\alpha}\\
&=&{\alpha(2-\alpha)}\\
\end{eqnarray*}
On pourrait s'arêter là... mais un petit calcul va nous mettre la puce à l'oreille :
\begin{eqnarray*}
\lim{x\rightarrow-\infty} f(x)+x^2 &=&
\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2}{e^x-1}+x^2\\
&=&\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2+x^2(e^x-1)}{e^x-1}\\
&=&\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{x^2e^x}{e^x-1}\\
&=&\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x-1}{x^2e^x}}\\
&=&\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x^2e^x}-\dfrac{1}{x^2e^x}}\\
&=&\lim{x\rightarrow-\infty} \dfrac{1}{\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x^2e^x}}\\
&=&\dfrac{1}{0-\dfrac{1}{0}}\\
&=&\dfrac{1}{0-\infty}\\
&=&0
\end{eqnarray*}
Ceci permet de voir que la parabole retournée \( x\mapsto x^2\) est asymptote à la courbe représentative de \( f\) en \( -\infty\) .
On peut alors conclure par la courbe représentative de \( f\) :
A quel joli exercice cela peut-il aboutir (la dernière partie avec la parabole asymptote est très sortie du chapeau et surtout très hors programme) ?
