Trigonométrie
Un nombre un peu spécial
Si l'on observe de plus près le mot trigonométrie de devine de quoi on va parler :
- tri pour trois,
- gono pour angle (ou coin, c'est la même racine étymologique que genoux),
- métrie pour mesure
La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les triangles. Il s'agit bien de l'objet que vous connaissez depuis l'enfance mais nous le considérerons plus par ses angles que par ses cotés bien que les deux soient très étroitement liés.
Les angles que vous connaissez sont ceux qui se mesure en degrés. Quatre-vingt-dix degrés pour un angle droit, cent quatre vingt pour un angle plat, trois cents soixante pour un tour complet !
Vous êtes vous demandé d'où venait cette étrange convention ? Pourquoi \( 360\) degrés pour un tour ? On aurait aussi pu convenir que \( 10\) degrés faisait un tour ! La réponse n'est pas très claire mais il semblerait que cette convention trouve ses racines dans l'histoire de l'humanité et aurait la même cause que la raison pour laquelle il y a \( 60\) minutes en une heure ou \( 60\) secondes en une minute : les premiers penseurs de ces mesures viennent d'Amérique du sud et il était coutumier pour nos ancêtres de parler en base soixante plutôt que \( 10\) .
Mais à bien des égares, il est apparu nécessaire de convenir d'une autre unité de mesure que les degrés.
Pour la faire naitre, on considère un cercle (qui dit angle dit cercle) et on demande :
Quel est le périmètre d'un cercle ?
Pour tenter d'approcher une réponse, faisons un dessin non pas avec un cercle mais avec deux.
On observe que plus la distance \( AD\) est petite plus elle
approche la longueur de l'arc \( AD\) ; on note \( \overset{\text{⁔{AD\) la longueur de cette arc. De la même manière la longueur de la droite \( BC\) est une bonne approximation de l'arc \( \overset{\text{⁔{BC\) .
En utilisant le bon vieux théorème de Thalès, on montre que \( \dfrac{OA{OB=\dfrac{AD{BC\) . En approchant la taille des arcs par celle des segments et en faisant une petite règle de trois on trouve
\[\overset{\text{⁔{BC=\dfrac{OA}{OB}\overset{\text{⁔}}{AD}\]
Revenons à présent à la question du calcul du périmètre d'un cercle. On peut diviser le cercle en
morceau très petit aussi petit que la longueur \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) (ou \( \overset{\text{⁔}}{AD}\) suivant le cercle que vous regardez). Donc la somme de tous ces morceaux donnent le périmètre du cercle. Mais la formule déterminée précédemment montre que le périmètre du petit cercle, vu comme la somme de plein de petit morceau d'arc \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) , est proportionnelle à la somme de plein de petit morceau \( \overset{\text{⁔}}{AD}\) . En effet le rapport \( \dfrac{OA}{OB}\) reste constant en fonction du nombre de morceau. D'ailleurs, nous pouvons être plus précis car \( OA\) est en fait le rayon du petit cercle tandis que \( OB\) est le rayon du grand ! Si on note \( r\) le rayon du petit cercle, \( p\) son périmètre et \( R\) le rayon du grand cercle, \( P\) son périmètre alors la précédente formule s'écrit \( p=\dfrac{r}{R}P\) . Jouons un peu avec cette formule. On note \( D=2R\) et \( d=2r\) les diamètres des cercles.
\begin{eqnarray*}
p=\dfrac{r}{R}P &\Longleftrightarrow& p=\dfrac{2r}{2R}P\\
&\Longleftrightarrow& p=\dfrac{d}{D}P\\
&\Longleftrightarrow& \dfrac{p}{d}=\dfrac{P}{D}
\end{eqnarray*}
Nous venons donc d'observer que le rapport du périmètre par le diamètre est toujours égale à la même valeur.
Définition
On note \( \pi\) le rapport du périmètre d'un cercle par son diamètre. Ce nombre ne dépend pas du cercle. On a l'estimation suivante :
\[\pi\simeq3.141592...\]
Le symbole \( \pi\) se lit
pi et correspond à la lettre grecque \( p\) (pour périmètre). On peut démontrer, avec souffrance, que \( \pi\in\R\) mais \( \pi\not\in \Q\) .
Le nombre \( \pi\) est une bonne base pour le travail avec les angles.
Définition
On mesure les angles en radian. Un tour complet (\( 360\) degrés) correspond à \( 2\pi\) .
Puisqu'il y a un rapport proportionnel entre les mesures en degrés et en radian on a les équivalence suivantes.
\[
\begin{array}{c||c|c|c|c|c|c|c}
\text{Degrés}&0&30&45&60&90&180&360\\\hline
\text{Radian}&0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}&\pi&2\pi
\end{array}
\]
Le cercle trigonométrique
L'outil centrale de la trigonométrie est le cercle trigonométrique.
Définition
Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1.
Lorsque l'on souhaite faire, comprendre, voir de la trigonométrie, on représente un cercle trigonométrique centré en l'origine d'un repère cartésien et on représente l'angle sur lequel on souhaite faire des observations ou calcul. Sur l'exemple on a représenté \( \dfrac{\pi}{6}\) .
Définition
Le sens trigonométrique ou sens direct correspond au sens inverse des aiguilles d'une montre.
L'angle \( \widehat{AOB}=\dfrac{\pi}{6}\) et l'angle \( \widehat{BOA}=-\dfrac{\pi}{6}\) .
Qu'en est-il des angles \( \pi\) et \( -\pi\) . Sur la représentation ci-contre, c'est deux angles aboutissent au même point : le \( D\) . On est très fortement amené à penser que
sur le cercle trigonométrique \( \pi=-\pi\) . C'est d'ailleurs vrai. Mais attention ! Le nombre réel \( \pi\simeq3.14\) tandis que le nombre réel \( -\pi\simeq-3.14\) . Ils sont bel et bien différent mais
sur le cercle trigonométrique ils sont les même. Comme écrire \( \pi=-\pi\) pique un peu les yeux on introduit une notation.
Définition
Lorsque l'on travaille sur le cercle, on considère les angles à \( 2\pi\) près. Si deux angles \( \alpha\) et \( \beta\) sont égaux sur le cercle trigonométrique on dira qu'ils sont égaux modulo \( 2\pi\) on écrira \( \alpha=\beta\quad [2\pi]\) ou \( \alpha\modpi\beta\) .
Cela signifie que \( \alpha-\beta=2\pi\times k\) pour un certain \( k\in \Z\) .
Dans cette définition le nombre \( k\) représente le nombre de tour (on rappel qu'un tour correspond à un angle de \( 2\pi\) radian) que l'on fait. Ainsi nous pouvons écrire \( \pi\modpi-\pi\) car \( \pi-(-\pi)=2\pi=2\pi\times1\) ; autrement dit : les angles \( \pi\) et \( -\pi\) sont les mêmes à un tour de cercle près.
Autre exemple :
\[\dfrac{2023\pi}{3}=\dfrac{(674\times 3+1)\pi}{3}
=\dfrac{674\times3 \pi}{3}+\dfrac{\pi}{3}=
674\pi+\dfrac{\pi}{3}\]
En d'autre terme \( \dfrac{2023\pi}{3}\) et \( \dfrac{\pi}{3}\) sont les mêmes angles à \( 337\) tours près (\( 337=674\div 2\) ) : \( \dfrac{2023\pi}{3}\modpi\dfrac{\pi}{3}\)
Cosinus, sinus et tangente
Définition
Soit \( OAB\) un triangle rectangle en \( A\) . Notons \( x\) l'angle \( \widehat{AOB}\) .
- \( \bullet\)
- Le cosinus de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{OA}{OB}\) .
- \( \bullet\)
- Le sinus de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{AB}{OB}\) .
- \( \bullet\)
- La tangente de l'angle \( x\) est le rapport \( \dfrac{AB}{OA}\) .
Voici un fameux moyen mnémotechnique pour retenir ces formules :
CASSE TOI
Quelques explications s'impose :
- \( \bullet\)
- Dans un triangle rectangle le plus grand des cotés est appelé l'hypoténuse.
- \( \bullet\)
- Le coté adjacent à l'angle \( x\) est \( OA\) . C'est le coté adjacent à l'angle \( x\) et l'angle droit.
- \( \bullet\)
- Le coté opposé à l'angle \( x\) est \( AB\) . C'est le coté qui est "en face" de l'angle \( x\) .
L'angle opposé à \( x\) est adjacent à \( y\) et inversement.
Le fameux
casse toi s'écrit
CAH SOH TOA :
- CAH :
- le Cosinus est le rapport du coté Adjacent par l'Hypoténuse.
- SOH :
- le Sinus est le rapport du coté Opposé par l'Hypoténuse.
- TOA :
- la Tangente est le rapport du coté Opposé par le coté Adjacent.
Nous n'allons pas plus surcharger ce cours déjà très empreinte de géométrie, mais sans trop souffrir et à l'aide du théorème de Thalès, on peut montrer que les longueur des cotés n'importe pas. Seule les mesures des angles sont importants. Puisque c'est ainsi, on va considérer, pour travailler avec ces objets, des triangles rectangles dont l'hypoténuse fait \( 1\) , ainsi nous n'aurons plus à utiliser des fractions pour le cosinus et le sinus.
Faisons tout de suite le liens avec le cercle trigonométrique.
En appliquant les formules, on a \( cos(x)=\dfrac{OA}{OB}\) mais \( OB\) est un rayon du cercle trigonométrique, qui est par définition de rayon \( 1\) . Donc \( cos(x)=OA\) .
De même \( sin(x)=\dfrac{AB}{OB}=AB=OC\) .
Ainsi le cosinus et le sinus d'un angle représentent respectivement l'abscisse et l'ordonnée du point d'intersection entre le cercle trigonométrique et le droite formant l'angle souhaité avec l'axe des abscisses.
On observe alors que \( tan(x)=\dfrac{sin(x)}{cos(x)}\) . On va donc mettre cette fonction de coté et nous concentrer sur le deux autres.
Formulaire
Proposition [Pythagore]
Quelque soit \( x\in \R\) , \[cos^2(x)+sin^2(x)=1\]
Démonstration
On a \( AC^2+BC^2=AB^2\) (théorème de Pythagore) soit encore \( cos^2(x)+sin^2(x)=1\)
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(-x)=cos(x)\]
\[sin(-x)=-sin(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=sin(x)\]
\[sin\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=cos(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-sin(x)\]
\[sin\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=cos(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(\pi-x)=-cos(x)\]
\[sin(\pi-x)=sin(x)\]
Proposition
Quelque soit \( x\in \R\) ,
\[cos(\pi+x)=-cos(x)\]
\[sin(\pi+x)=-sin(x)\]
De cette dernière formule on peut observer que \( cos(x+2\pi)=cos((x+\pi)+\pi)=-cos(x+\pi)=cos(x)\) ; de même pour le sinus. On savait cependant déjà que \( cos(x+2\pi)=cos(x)\) puisque \( x\modpi x+2\pi\) .
Proposition
\[
\begin{array}{|l|*{5}{|c}|}
\hline
x\ \text{rad} &0&\frac{\pi}{6}&\frac{\pi}{4}&\frac{\pi}{3}&\frac{\pi}{2}\\\hline\hline
cos(x)&1&\frac{\sqrt{3}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{1}{2}&0\\\hline
sin(x)&0&\frac{1}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{3}}{2}&1\\\hline
\end{array}
\]
Démonstration
Par de petits jeu géométrique on peut déterminer ces valeurs. Ce n'est pas très difficile mais pas vraiment pertinent.
En jumelant ces derniers résultats avec les précédents, on peut déterminer le cosinus et le sinus de bien plus de valeurs. La représentation ci-dessous en donne certaine.
Formules de duplication
Vous pensiez avoir tranquillement survécu à ces quelques formules de trigonométrie ? Que nenni !
Théorème
Soient \( x\in\R\) et \( y\in \R\) .
\[cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\]
\[sin(x+y)=sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)\]
Démonstration
On considère \( OBC\) et \( OCD\) des triangles rectangles respectivement en \( B\) et \( C\) tel que \( \widehat{BOC}=x\) et \( \widehat{COD}=y\) . On projette le point \( D\) sur la droite \( (OB)\) que l'on nomme \( A\) et on projette le point \( C\) sur la droite \( (AD)\) que l'on nomme \( E\) . Un résultat bien connu sur les triangles semblables permet de justifier que \( \widehat{CDE}=x\) . Sur un dessin tout devrait s'éclairer.
Faisons de la trigonométrie dans cette figure :
- Dans le triangle \( OBC\) :
-
\( cos(x)=\dfrac{OB}{OC}\) et \( sin(x)=\dfrac{BC}{OC}\) .
- Dans le triangle \( DEC\) :
-
\( cos(x)=\dfrac{DE}{DC}\) et \( sin(x)=\dfrac{EC}{DC}\)
- Dans le triangle \( OCD\) :
-
\( cos(y)=\dfrac{OC}{OD}\) et \( sin(y)=\dfrac{DC}{OD}\)
- Dans le rectangle \( ABCE\) :
-
\( EC=AB\) et \( EA=BC\)
\begin{eqnarray*}
cos(x+y)
&=&\dfrac{OA}{OD}\\
&=&\dfrac{OB-AB}{OD}\\
&=&\dfrac{OB-EC}{OD}\\
&=&\dfrac{OB}{OD}-\dfrac{EC}{OD}\\
&=&\dfrac{OB}{OC}\times \dfrac{OC}{OD}-\dfrac{EC}{DC}\times\dfrac{DC}{OD}\\
&=&cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
sin(x+y)
&=&\dfrac{AD}{OD}\\
&=&\dfrac{AE+ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC+ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC}{OD}+\dfrac{ED}{OD}\\
&=&\dfrac{BC}{OC}\times\dfrac{OC}{OD}+\dfrac{ED}{DC}\times \dfrac{DC}{OD}\\
&=&sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)
\end{eqnarray*}
Corollaire
\[sin(x-y)=sin(x)cos(y)-sin(y)cos(x)\]
\[cos(x-y)=cos(x)cos(y)+sin(x)sin(y)\]
\[sin(2x)=2sin(x)cos(x)\]
\[cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\]
\[sin^2(x)=\frac{1-cos(2x)}{2}\]
\[cos^2(x)=\frac{1+cos(2x)}{2}\]
\[cos(x)cos(y)=\frac{1}{2}\left(cos(x-y)+cos(x+y)\right)\]
\[sin(x)sin(y)=\frac{1}{2}\left(cos(x-y)-cos(x+y)\right)\]
\[cos(x)sin(y)=\frac{1}{2}\left(sin(x+y)-sin(x-y)\right)\]
\[cos(x)+cos(y)=2cos\left(\frac{x+y}{2}\right)cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[cos(x)-cos(y)=-2sin\left(\frac{x+y}{2}\right)sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[sin(x)+sin(y)=2sin\left(\frac{x+y}{2}\right)cos\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
\[sin(x)-sin(y)=2cos\left(\frac{x+y}{2}\right)sin\left(\frac{x-y}{2}\right)\]
Démonstration
On ne va pas toutes les démontrer. Elles se déduisent des formules précédentes. Par exemple puisque \( cos(-y)=cos(y)\) et \( sin(-y)=-sin(y)\) alors en remplaçant \( X\) par \( x\) et \( Y\) par \( -y\) dans la formule \( sin(X+Y)=sin(X)cos(Y)+cos(X)sin(Y)\) on trouve \( sin(x-y)=sin(x)cos(y)-cos(x)sin(y)\) .
Autre exemple, en prenant \( x=y\) dans la formule \( cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)\) on obtient \( cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)\) . Sachant que \( cos^2(x)+sin^2(x)=1\) on en déduit que \( sin^2(x)=1-cos^2(x)\) ; ce qui donne \( cos(2x)=cos^2(x)-(1-cos^2(x))=2cos^2(x)-1\) soit encore \( cos^2(x)=\dfrac{1+cos(2x)}{2}\) .
Dans la vie de tous les jours, on n'apprend pas toutes ces formules ! A la limite, pour les plus intéressé, on sait les retrouver mais sinon on se sert d'un formulaire ! Donc pas de panique avec toute cette trigonométrie. Il faut savoir que ces formules existent, il faut savoir que l'expression \( cos(x+\pi)\) se simplifie, sans forcement connaitre par cœur la formule.
Fonctions trigonométriques
On considère les fonctions \( x\mapsto sin(x)\) et \( x\mapsto cos(x)\) . Comme toutes fonctions que l'on cherche à étudier on applique les même méthodes : limites, dérivées asymptotes etc...
Commençons par le domaine de définition. Elles sont toutes deux définie comme le rapport d'un coté d'un triangle par son hypoténuse. Cette définition fait donc apparaitre une fraction ce qui fait naitre des contraintes. Mais nous avions observé que la longueur des cotés n'importaient pas. Seul l'angle est nécessaire pour déterminer cosinus et sinus. C'est d'ailleurs pour cette raison que nous avons favorisé le travail dans les cercles trigonométriques puisque dans ce cas les hypoténuses valent \( 1\) et donc les fractions disparaissent... emportant avec elles les problèmes de division par \( 0\) . En conclusion les fonctions cosinus et sinus n'ont aucune contrainte et sont définies sur \( \R\) .
Déterminons leur dérivées.
Lemme
\[
\lim{x\rightarrow0}\dfrac{sin(x)}{x}=1,\quad\quad\quad
\lim{x\rightarrow0}\dfrac{cos(x)-1}{x^2}=-\dfrac{1}{2}\]
Un
lemme est un résultat, souvent technique, qui permet de simplifier la preuve d'un théorème plus pertinent.
Démonstration
Comme nous l'avons fait dans l'introduction, nous pouvons approcher la longueur de l'arc \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) par la longueur du segment \( [BC]\) . Or on a \( \overset{\text{⁔}}{BC}=x\) . En effet le périmètre d'un cercle trigonométrique est \( 2\pi\) donc d'un demi-cercle \( \pi\) , un quart de cercle \( \dfrac{\pi}{2}\) . Si la portion est délimitée par un angle \( x\) exprimé en radian alors l'arc de cercle (trigonométrique) a pour longueur \( x\) .
De plus, \( AC=sin(x)\) et \( AB=OB-OA=1-cos(x)\) . En appliquant le théorème de Pythagore au triangle \( ABC\) rectangle en \( A\) on a
\[BC^2=AC^2+AB^2=sin^2(x)+(1-cos(x))^2=\underbrace{sin^2(x)+cos^2(x)}-2cos(x)+1=2-2cos(x)=2(1-cos(x))\]
En considérant que plus l'angle \( x\) est petit, c'est à dire tend vers \( 0\) , alors plus l'approximation \( \overset{\text{⁔}}{BC}\simeq BC\) se rapproche d'une égalité, il en va de même pour
\( \overset{\text{⁔}}{BC}^2\simeq BC^2\) ce qui se réécrit \( x^2\simeq 2(1-cos(x))\) . Par un produit en croix, on arrive à \( \dfrac{cos(x)-1}{x^2}\simeq -\dfrac{1}{2}\) . Le passage à la limite permet d'arriver au résultat.
De la même manière en approchant la valeur \( \overset{\text{⁔}}{BC}\) par \( AC\) on trouve immédiatement que \( sin(x)\simeq x\) soit \( \dfrac{sin(x)}{x}\simeq 1\) qui devient une égalité à la limite.
Théorème
\[(sin(x))'=cos(x)\qquad \qquad \qquad (cos(x))'=-sin(x)\]
Démonstration
On rappel que par définition \[f'(a)=\lim{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\]
Nous allons appliquer cette formule aux fonctions trigonométrique.
\begin{eqnarray*}
(cos(a))'
&=&\lim{x\rightarrow a}\dfrac{cos(a)-cos(x)}{x-a}\\
&=&\lim{x\rightarrow a}\dfrac{-2sin\left(\dfrac{x+a}{2}\right)sin\left(\dfrac{x-a}{2}\right)}{x-a}\\
&=&\lim{X\rightarrow 0}\dfrac{-2sin\left(X+a\right)sin\left(X\right)}{2X}\ \text{où }X=\dfrac{x-a}{2}\\
&=&\lim{X\rightarrow 0}-sin\left(X+a\right)\underbrace{\dfrac{sin\left(X\right)}{X}}_{\rightarrow 1}\\
&=&-sin(a)
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
(sin(a))'
&=&\lim{x\rightarrow a}\dfrac{sin(a)-sin(x)}{x-a}\\
&=&\lim{x\rightarrow a}\dfrac{2cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)}{x-a}\\
&=&\lim{X\rightarrow 0}\dfrac{2cos\left(X+a\right)sin\left(X\right)}{2X}\ \text{où }X=\dfrac{x-a}{2}\\
&=&\lim{X\rightarrow 0} cos\left(X+a\right)\underbrace{\dfrac{sin\left(X\right)}{X}}_{\rightarrow 1}\\
&=&cos(a)
\end{eqnarray*}
Corollaire
\[(sin(u))'=cos(u)\times u'\qquad \qquad \qquad (cos(u))'=-sin(u)\times u'\]
Démonstration
Il s'agit de la formule de dérivation de la composée de fonction.
Nous pouvons poursuivre notre étude des fonctions trigonométriques.
Commençons par observer que l'égalité \( sin(x+2\pi)=sin(x)\) permet de restreindre l'étude à l'intervalle \( [-\pi ; \pi]\) (ou n'importe quelle intervalle de longueur \( 2\pi\) ). On dit que la fonction est
\( 2\pi\) -périodique, c'est à dire que vu en \( x\) ou \( 2\pi\) plus loin c'est la même chose. De même l'égalité \( sin(-x)=-sin(x)\) permet de restreindre l'étude à \( [0;\pi]\) . On dit que la fonction est
impaire. La dérivé du sinus est le cosinus et le cosinus dont le signe est très facilement observable sur un dessin.
La dérivé du sinus est le cosinus et il est assez facile de déterminer le signe du cosinus sur l'intervalle \( [0; \pi]\) . On en déduit alors que la fonction sinus est strictement croissante sur \( \left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right[\) et strictement décroissante sur \( \left]\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]\) .
En utilisant la périodicité et la parité de la fonction on en déduit la représentation graphique du sinus.
Un raisonnement similaire permet de déduire les variations de la fonction cosinus.
Représentation du sinus
Représentation du cosinus
En particulier les fonctions cosinus et sinus n'ont pas de limite en \( \infty\) puisqu'elles oscillent perpétuellement entre \( -1\) et \( 1\) .
Deux exemples
Considérons la fonction \( f(x)=xsin(x)+cos(x)\) définie sur \( \R\) mais que nous n'étudierons que sur \( [-\pi ; \pi]\) . Calculons sa dérivé.
\[f'(x)=1.sin(x)+xcos(x)-sin(x)=xcos(x)\]
Nous connaissons parfaitement le signe du cosinus ainsi que de \( x\) nous pouvons donc dresser le tableau de signe de \( f'\) et donc de variation de \( f\) .
Ce qui permet d'obtenir la représentation graphique suivante de la fonction \( f\) .
Considérons à présent la fonction \( g(x)=\dfrac{1}{cos(2x)-1}\) que nous souhaitons étudier entre \( -\dfrac{\pi}{2}\) et \( \dfrac{3\pi}{2}\) . Cependant cette fonction ne peut être définie que si son dénominateur est non nul. Or ce dernier s'annule lorsque \( cos(2x)=1\) . A travers l'étude de la fonction cosinus nous avons observé que \( cos(X)=1\) lorsque \( X=0\) . N'oublions pas que nous travaillons dans le cercle trigonométrique, c'est à dire qu'il faut considérer les angles modulo \( 2\pi\) . Pour être précis, \( cos(X)=1\) si et seulement si \( X\modpi 0\) . En nombre réel cela signifie pour \( X=-2\pi\) , \( X=0\) , \( X=2\pi\) , \( X=4\pi\) , etc. Génériquement on peut écrire \( X=0+2k\pi\) pour tous les \( k\in \Z\) . Donc \( cos(2x)=1\) si et seulement si \( 2x=2k\pi\) soit encore \( x=k\pi\) pour tous les \( k\in \Z\) . Puisque nous souhaitons étudier cette fonction entre \( -\dfrac{\pi}{2}\) et \( \dfrac{3\pi}{2}\) , il faut alors interdire les valeur \( 0\) et \( \pi\) . En conclusion le domaine de définition de \( g\) est
\[\mathscr{D}_g=\left[-\dfrac{\pi}{2}; 0\right[\cup]0;\pi[\cup\left]\pi, \dfrac{3\pi}{2}\right]\]
Calculons la dérivée :
\[g'(x)=-\dfrac{(cos(2x)-1)'}{(cos(2x)-1)^2}=-\dfrac{-2sin(2x)}{(cos(2x)-1)^2}=sin(2x)\dfrac{2}{(cos(2x)-1)^2}\]
Puisque la fraction \( \dfrac{2}{(cos(2x)-1)^2}\) est strictement positive sur le domaine de définition de \( g\) alors il suffit de déterminer le signe de \( sin(2x)\) pour trouver le signe de \( g'\) .
Or \( sin(X){>}0\) si \( 0{<}X{<}\pi\) . En en déduit que \( sin(2x){>}0\) si \( 0{<}x{<}\dfrac{\pi}{2}\) . On peut alors tracer le tableau de signe de \( g'\) donc les variations de \( g\) .
A propos des limites. En utilisant le lemme du précédent paragraphe on a
Alors
\begin{eqnarray*}
\lim{x\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{cos(2x)-1}
&=& \lim{x\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{(2x)^2}\dfrac{(2x)^2}{cos(2x)-1}\\
&=& \lim{x\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{(2x)^2}\dfrac{1}{\dfrac{cos(2x)-1}{(2x)^2}}\\
&=& \lim{X\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{X^2}\dfrac{1}{\dfrac{cos(X)-1}{X^2}}\qquad \text{où }X=2x\\
&=& \lim{X\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{X^2}\dfrac{1}{-\dfrac{1}{2}}\\
&=& \lim{X\rightarrow0^\pm} -\dfrac{2}{X^2}\\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}
De même
\begin{eqnarray*}
\lim{x\rightarrow\pi^\pm} \dfrac{1}{cos(2x)-1}
&=&\lim{X\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{cos(2(x+\pi))-1}\qquad\text{ où }X=x-\pi\\
&=&\lim{X\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{cos(2x+2\pi)-1}\\
&=&\lim{X\rightarrow0^\pm} \dfrac{1}{cos(2x)-1}\\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}
On déduit de ces résultats que les droites \( x=0\) et \( x=\pi\) sont des asymptotes verticale à la courbe représentative de \( g\) .
