\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Systèmes d'équations

Un problème

En vous rendant à la boulangerie lundi matin vous achetez deux croissants et trois pains au chocolat que payez au total $ 5,60$ €. Mardi matin, vous prenez un pain au chocolat et quatre croissants et vous payez $ 5,20$ €. Mercredi vous achèterez deux croissants et deux pains au chocolat. Combien paierez-vous ?

Comme pour les équations avec une inconnue, le schéma de résolution est le même : identifier les inconnues, mettre en équation, résoudre puis conclure. La différence ici est qu'il n'y a pas une mais deux inconnues : le prix du croissant que nous noterons $ x$ et le prix du pain au chocolat que nous noterons $ y$ . Les informations sur le lundi nous indique que $ 2x+3y=5,60$ tandis que les informations sur le mardi donnent $ y+4x=5,20$ . Nous sommes ici en présence d'un système de deux équations à deux inconnues. \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 2x&+&3y&=&5,60\\ 4x&+&y&=&5,20 \end{array} \right. \] Bien que cela ne soit pas du tout un indispensable pour comprendre les méthodes de résolution que nous allons aborder, il est préférable d'adopter tout de suite les bons réflexe : aligner les inconnues correctement lorsque l'on écrit le système ! Détaillons à présent les trois différentes méthodes de résolution d'un tel système

Méthode de substitution

Dans cette méthode on choisit (en fonction de notre plaisir) une équation et une variable et on substitue dans l'autre équation. Dans notre exemple, choisissons la seconde équation et isolons $ y$ . On a $ 4x+y=5,20$ c'est à dire $ y=5,20-4x$ . Nous venons d'exprimer $ y$ en fonction de $ x$ (nous reparlerons de fonction plus en détail très vite !). La première équation est $ 2x+3y=5,60$ sauf que nous venons d'observer que $ y=5,20-4x$ , remplaçons alors $ y$ par $ 5,20-4x$ dans cette seconde équation : \[2x+3y=5,60 \Longleftrightarrow 2x+3(5,20-4x)=5,60 \Longleftrightarrow 2x+15,60-12x=5,60 \Longleftrightarrow -10x=-10 \Longleftrightarrow x=1 \] Nous avons ainsi trouvé $ x$ et puisque $ y=5,20-4x$ alors $ y=5,20-4.1=1,20$ . Ainsi le croissant coute $ 1$ € et le pain au chocolat $ 1,20$ €. Nous aurions pu choisir une autre équation ou une autre variable. Nous n'aurions pas les même calcul mais bien le même résultat. Pour l'exemple : prenons la première équation et exprimons $ x$ en fonction de $ y$ . Nous avons $ 2x+3y=5,60$ . Cela équivaut à $ 2x=5,60-3y$ soit en divisant par deux des deux cotés $ x=\dfrac{2x}{2}=\dfrac{5,60-3y}{2}$ . A présent nous avons $ 4x+y=5,20$ donc en remplaçant la valeur de $ x$ par l'expression trouvé plus haut nous arrivons à \[ 4x+y=5,20 \Longleftrightarrow 4\left(\dfrac{5,60-3y}{2}\right)+y=5,20 \Longleftrightarrow 11,20-6y+y=5,20 \Longleftrightarrow -5y=-6 \Longleftrightarrow y=1,20 \] Puis en substituant cette valeur dans la formule $ x=\dfrac{5,60-3y}{2}$ on (re)trouve $ x=\dfrac{5,60-3.1,20}{2}=1$ . On note $ \{(1 ; 1,20)\}$ l'ensemble solution. Attention aux notations : $ \{\}$ pour l'ensemble solution et $ (... ; ...)$ pour le couple solution. L'inconvénient de cette méthode est que si on se trompe dans le calcul d'une inconnue alors la seconde sera aussi fausse. La prochaine méthode va régler ce problème.

Méthode de combinaison ou méthode de Gauss

Carl Gustav Friedrich Gauss (1777-1855) est un mathématiciens allemand particulièrement prolifique. Si vous prenez quelques minutes pour découvrir sa biographie (n'importe où sur le web) vous prendrez vite conscience de la profondeur du personnage par le nombre impressionnant de résultat qui lui sont du. Son surnom en est la preuve indirect : le prince des mathématiques. Gauss s'intéressait non pas à résoudre des systèmes de deux équations à deux inconnues mais des systèmes de $ 487$ équations à $ 487$ inconnues et la méthode que nous allons détailler ici s'applique dans un cadre beaucoup plus générale. Nous ne saurions que trop vous conseiller de maîtriser cette technique qui ne sera qu'une révision lorsque, dans vos poursuites d'étude, vous rencontrerez des systèmes de 3, 4 voir plus d'inconnues et d'équations. Bref, soyez attentif mais ne paniquer pas, nous n'irons pas plus loin que deux équations à deux inconnues. Le principe de la méthode de Gauss est non pas de manipuler les inconnues mais directement les lignes. Le but étant de trouver un moyen, en manipulant les lignes, de faire disparaitre une inconnue pour revenir à une simple équation à une (simple) inconnue. Reprenons notre exemple \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 2x&+&3y&=&5,60\\ 4x&+&y&=&5,20 \end{array} \right. \] et multiplions la première ligne par $ 2$ : $ 2(2x+3y)=2(5,60)$ . Jusque là pas de problème, nous avons fait une opération des deux cotés de l'égalité. Nous avons respecter les lois du monde mathématiques. Développons : $ 4x+6y=11,20$ . Le système est donc équivalent à \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 4x&+&6y&=&11,20\\ 4x&+&y&=&5,20 \end{array} \right. \] L'intérêt de cette opération est qu'a présent dans les deux équations nous avons la même quantité de $ x$ . Soustrayons à la première équation la seconde \[(4x+6y)-(4x+y)=(11,20)-(5,20)\Longleftrightarrow 4x+6y-4x-y=6\Longleftrightarrow 5y=6\Longleftrightarrow y=1,20 \] Par cette astuce de calcul nous nous sommes ramené à une équation à une inconnue. A ce niveau là, nous pouvons prendre n'importe laquelle des deux équation et substituer $ 1,20$ à $ y$ pour trouver $ x$ mais si nous avons fait une erreur de calcul sur $ y$ alors nous aurons une erreur de calcul sur $ x$ . A la place nous pouvons reprendre le problème depuis le début et essayer de multiplier les lignes par un nombre permettant de faire disparaitre cette fois le $ y$ . Multiplions la seconde ligne par $ 3$ : \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 2x&+&3y&=&5,60\\ 12x&+&3y&=&15,60 \end{array} \right. \] Réalisons la différence des deux lignes pour arriver à \[ (2x+3y)-(12x+3y)=5,60-15,60 \Longleftrightarrow 2x+3y-12x-3y=-10 \Longleftrightarrow -10x=-10 \Longleftrightarrow x=1 \] Nous venons donc de trouver la valeur de $ x$ indépendamment de la valeur trouvée pour $ y$ . Formalisons un peu tout cela. Considérons un système \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} ax&+&by&=&\alpha\\ cx&+&dy&=&\beta \end{array} \right. \] Ceci est la forme générale d'un système. Attention, même s'il n'y a aucune valeur, les inconnues sont $ x$ et $ y$ . Dans la pratique vous connaissez $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ , $ \alpha$ et $ \beta$ (d'ailleurs connaissez-vous ces deux dernière lettres ? Il s'agit des deux première lettre de l'alphabet grec. Le alpha noté donc $ \alpha$ équivalent de la lettre a et le beta $ \beta$ correspondant au b. D'ailleurs le mot alphabet est la concaténation de ces deux premières lettres). Notons $ L_1$ la première ligne et $ L_2$ la seconde ligne alors en faisant $ cL_1-aL_2$ on obtient une équation à une inconnue en $ x$ . L'opération $ dL_1-bL_2$ permet quant à elle d'aboutir à une équation à une inconnue en $ x$ .

Méthode par les formules ou méthode de Cramer

Puisque nous sommes avec des formules, poursuivons par celle déterminer par Gauss mais qui avaient été trouvée bien avant par un mathématicien suisse du nom de Gabriel Cramer (1704-1752). Sans plus de cérémonie les formules : \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} ax&+&by&=&\alpha\\ cx&+&dy&=&\beta \end{array} \right. \qquad \Longrightarrow\qquad x=\dfrac{\alpha d-b\beta}{ad-bc},\quad y=\dfrac{a\beta-\alpha c}{ad-bc} \] Dans notre exemple nous avons $ x=\dfrac{5,60.1-3.5,20}{2.1-3.4}=\dfrac{-10}{-10}=1$ et $ y=\dfrac{2.5,20-5,60.4}{2.1-3.4}=\dfrac{-12}{-10}=1,20$ . Ces formules font apparaitre un problème : que se passe-t-il lorsque le dénominateur $ ad-bc$ est nul ? Ce cas particulier peut avoir deux issue que nous allons détailler sur des exemples dans la dernière partie.

Deux cas particuliers

Considérons le système suivant \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 2x&-&y&=&1\\ -4x&+&2y&=&-2 \end{array} \right. \] La méthode de Cramer ne s'applique pas puisque le dénominateur de la formule $ ad-bc=(2)(2)-(-4)(-1)=0$ . Appliquons la méthode de Gauss et multiplions la première ligne par $ 2$ \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 4x&-&2y&=&2\\ -4x&+&2y&=&-2 \end{array} \right. \] Si on additionne les deux lignes on arrive à $ 0=0$ . Dans ce cas il n'y a pas de problème et il y a donc une infinité de solution. Nous n'entrerons pas plus dans le formalisme de la solution. Même problème avec une petite différence : \[ \left\{ \begin{array}{rcrccl} 2x&-&y&=&1\\ -4x&+&2y&=&-1 \end{array} \right. \] En raisonnant exactement de la même manière (multiplier la première ligne par $ 2$ et faire la somme) on arrive à $ 0=1$ et ça c'est impossible il n'y a donc aucune solution au problème. En définitive, lorsque $ ad-bc=0$ il y a soit une infinité de solution si on tombe sur une trivialité (comme $ 0=0$ , $ 15=15$ , ...) soit aucune solution si on trouve une absurdité (comme $ 0=1$ etc).