Définition
Soient \( E\subseteq \R^2\) , \( f:E\rightarrow\R\) une fonction à deux variables et \( h\in R\) . La ligne de niveau \( h\) de \( f\) est l'ensemble
\[L_h=\left\{(x, y)\in E\Big| f(x, y) = h\right\}\]
Géométriquement une ligne de niveau correspond à l'intersection de la courbe de \( f\) et du plan \( z=h\) .
Prenons par exemple la fonction définie sur \( \R^2\) : \( f(x, y)=sin(x+y)\) alors la ligne de niveau \( 0\) est l'ensemble des droite \( y=-x+k\pi\) pour \( k\in \Z\) .
%
Définition
Soient \( E\subseteq \R^2\) , \( f:E\rightarrow\R\) une fonction à deux variables et \( (a, b)\in E\) . Les fonctions partielles de \( f\) en \( (a, b)\) sont définies par
\[f_{|y=b}(x)=f(x, b)\qquad f_{|x=a}(y)=f(a, y)\]
Géométriquement les fonctions partielle correspondent à l'intersection du graphe de \( f\) avec les plans \( x=a\) ou \( y=b\) .
Reprenons l'exemple de la fonction \( f(x, y)=sin(x+y)\) . Alors
\[f_{|y=\pi}(x)=-sin(x)\qquad f_{|x=2\pi}(y)=sin(y)\]
%