Le fait d'avoir un
nombre dont le carré vaut \( -1\) , qui est un nombre négatif, nous donne un nouvel outil d'extraction de racine carré.
En effet, par définition de racine carré, trouver \( \sqrt{-1}\) c'est trouver un nombre \( z\) , qui aujourd'hui peut donc être complexe, vérifiant \( z^2=-1\) . Nous avons donc une jolie solution : \( i\) ... mais ce n'est pas la seule. Il y a aussi \( -i\) . Donc \( \sqrt{-1}\) vaut à la fois \( i\) et \( -i\) . Ce n'est pas du tout satisfaisant ! Il faut donc donner un cadre un peu plus propre pour obtenir un concept plus cohérent.
Définition
Soit \( z\in \C\) . Les racines carrés de \( z\) sont des nombres \( Z\) vérifiant \( Z^2=z\) .
Si \( z\neq0\) , il y a toujours deux racines carrées.
Voyons à présent comment, dans la pratique, on détermine les racines carrées d'un nombre complexe.
Proposition
Soit \( z=x+iy\) un nombre complexe alors et \( Z\) une racine carré de \( z\) alors
\[\Re(Z)=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\]
\[\Im(Z)=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}\]
Le signe à choisir étant déterminé par le signe de \( y\) . Précisément
- Si \( y{>}0\)
- alors \( \Re(Z)\) et \( \Im(Z)\) sont de même signe
- Sinon
- \( \Re(Z)\) et \( \Im(Z)\) sont de signe différent.
Démonstration
Posons \( Z=a+ib\) . Par définition \( Z^2=z\) c'est à dire \( (a+ib)^2=x+iy\) soit \( (a^2-b^2)+2i(ab)=x+iy\) . En particulier, en comparant les parties imaginaires on a \( 2ab=y\) . Cette égalité montre que si \( y{>}0\) alors nécessairement \( a\) et \( b\) sont de même signe et de signe différent sinon. Quant à la partie réelle elle permet d'obtenir la formule \[a^2-b^2=x\]
D'un autre coté puisque \( Z^2=z\) alors \( \bar{Z}^2=\bar{z}\) et donc \( (Z\bar{Z})^2=z\bar{z}\) ce qui équivaut à \( (a^2+b^2)^2=x^2+y^2\) et puisque ces carrés sont positifs on a
\[a^2+b^2=\sqrt{x^2+y^2}\]
En sommant les deux égalités trouvées on arrive à \( 2a^2=\sqrt{x^2+y^2}+x\) soit \( a=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}}\) . La différence permet de trouver \( b\) .
Par exemple déterminons les racine carrés de \( z=3-2i\) . On cherche donc \( Z=a+ib\) tel que \( Z^2=z\) soit \( (a^2-b^2)+i(2ab)=3-2i\) . En identifiant partie réelle et partie imaginaire on en déduit que \( a^2-b^2=3\) et \( 2ab=-2\) soit encore \( ab=-1\) . D'autre part en passant par la forme conjuguée on a \( a^2+b^2=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}\) . Ainsi \( 2a^2=\sqrt{13}+2\) et \( a=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}\) et de même \( b=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\) . Puisque \( ab=-1\) alors \( a\) et \( b\) sont de signe différent. Ainsi les deux racines de \( 3-2i\) sont
\[Z_1=\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}-i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\]
\[Z_2=-\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}+2}{2}}+i\sqrt{\dfrac{\sqrt{13}-2}{2}}\]
Théorème
Si le discriminant d'un polynôme à coefficient réelle \( ax^2+bx+c\) est négatif alors le polynôme admet deux racines complexes conjuguées.
Démonstration
Si \( \Delta{<}0\) est le discriminant alors il admet deux racines carrées dont les calculs amènent à \( Z_1=i\sqrt{-\Delta}\) et \( Z_2=-i\sqrt{-\Delta}\) . En appliquant alors les formules classique on trouve deux racines au polynôme \( ax^2+bx+c\) :.
\[x_{1}=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \qquad
x_{2}=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}, \]
qui sont bien des nombres complexes conjuguées.
Considérons par exemple l'équation \( x^2+x+1=0\) . Son discriminant vaut \( -3\) . Alors ce polynôme admet \( z\) et \( \bar{z}\) comme solution où \( z=\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}\) .
On peut aussi considérer des polynômes où les coefficients sont complexe. Il suffit de raisonner exactement comme dans le cas réel en extrayant les deux racines carrés complexe (qui ne sont plus conjugués en général).
En particulier, tous les polynômes admettent des racines
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1Cela s'appelle le théorème de d'Alembert-Gauss... oui encore Gauss. Ce n'est pas pour rien qu'on l'appel
le prince des mathématiques.
