Pour représenter un point dans le plan nous avons besoin de deux informations (principalement parce qu'une plan est un objet de dimension 2). Nous avons étudier tout au long de l'année une seule méthode de coordination : les coordonnées cartésienne. Pour placer un point nous donnons son abscisse et son ordonnée. Inversement : étant donnée un point du plan, il possède une abscisse et une ordonnée.
Mais il existe une autre manière de représenter un point du plan qui vient principalement de l'astronomie (Gauss était astronome de formation et non mathématicien...).
Pour représenter un point dans le plan nous avons besoin de savoir uniquement quel angle il fait avec l'axe des ordonnée et à quelle distance il se trouve de l'origine.
Définition
- On appel coordonnées cartésiennes d'un point \( A\) du plan la donnée d'un couple \( (x, y)\) où \( x\) est l'abscisse, \( y\) l'ordonnée représentant respectivement la projection de \( A\) sur l'axe \( (0x)\) et \( (0y)\) .
- On appel coordonnées polaires d'un point \( A\) du plan la donnée d'un couple \( (r, \vartheta)\) où \( r\) est le module, \( \vartheta\) l'argument représentant respectivement la distance de \( 0A\) et l'angle \( (0x ; 0A)\) (mesuré en radian).
La trigonométrie va nous permettre de passer de l'un à l'autre.
Proposition
Soit \( A\) un point du plan de coordonnées cartésienne \( (x, y)\) et de coordonnée polaire \( (r, \vartheta)\) alors
\[x=rcos(\vartheta),\qquad y=rsin(\theta)\]
\[r=\sqrt{x^2+y^2},\qquad \vartheta=Arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)\]
Démonstration
Il suffit d'appliquer les définitions de sinus et cosinus dans le triangle du schéma précédent pour obtenir les deux premières formules ainsi que la dernière. Quand à la troisième, il s'agit du théorème de Pythagore.
Revenons dans l'ensemble des nombres complexes que nous avions ponctuellement délaissé. Un nombre complexe c'est \( x+iy\) où \( x\) et \( y\) représentent les coordonnées cartésiennes du point du plan. D'après la proposition précédente on a \( x+iy=(rcos(\vartheta))+i(rsin(\vartheta))=r(cos(\theta)+isin(\theta))\) .
Définition
Soit \( z\in \C\) , \( (x, y)\) les coordonnées cartésiennes qu'il défini et \( (r,\vartheta)\) ses coordonnées polaires. On note
\( |z|=r=\sqrt{x^2+y^2}\)
son module et
\( arg(z)=\vartheta=tan^{-1}\left(\dfrac{y}{x}\right)\)
son argument.
Proposition
Soient \( z\) et \( z'\) des nombres complexes et \( \lambda\) un nombre réel strictement positif.
- \( |zz'|=|z||z'|\)
- \( |\bar{z}|=|z|\)
- \( |z|^2=z\bar{z}\)
- \( |\lambda z|=\lambda|z|\) et \( |-\lambda z|=\lambda|z|\)
- \( \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}\)
- \( arg(zz')\modpi arg(z)+arg(z')\)
- \( arg(\bar{z})\modpi -arg(z)\)
- \( arg(\lambda)\modpi 0\) et \( arg(-\lambda)\modpi \pi\)
- \( arg(\lambda z)\modpi arg(z)\)
- \( arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\modpi arg(z)-arg(z')\)
Démonstration
Soient \( z=x+iy=r(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))\) et
\( z'=x'+iy'=r'(cos(\vartheta')+isin(\vartheta'))\) alors
\begin{eqnarray*}
zz'&=&[r(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))][r'(cos(\vartheta')+isin(\vartheta'))]\\
&=&rr'(cos(\vartheta)+isin(\vartheta))(cos(\vartheta')+isin(\vartheta')))\\
&=&rr'(\underbrace{cos(\vartheta)cos(\vartheta')-sin(\vartheta)sin(\vartheta')}+i(\underbrace{cos(\vartheta)sin(\vartheta')+cos(\vartheta')sin(\vartheta)}))\\
&=&rr'(cos(\vartheta+\vartheta')+isin(\vartheta+\vartheta'))
\end{eqnarray*}
Cette formule montre que \( |zz'|=rr'=|z||z'|\) et \( arg(zz')\modpi \vartheta+\vartheta'\modpi arg(z)+arg(z')\) .
On a également \( \bar{z}=r(cos(\vartheta)-isin(\vartheta))=r(cos(-\vartheta)+isin-(\vartheta))\) . Cette formule montre que \( |\bar{z}|=r=|z|\) et \( arg(\bar{z})\modpi -\vartheta\modpi -arg(z)\) .
Les formules 3 sont des conséquences triviales des définitions.
Les formules 4 se déduisent des formules 1.
Finalement \( \dfrac{z}{z'}=\dfrac{z\bar{z'}}{z'\bar{z'}}=\dfrac{z\bar{z'}}{|z'|^2}\) .
Puisque \( |z'|^2\) est un nombre réel strictement positif alors \( \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z||\bar{z'}|}{|z'|^2}=\dfrac{|z||z'|}{|z'|^2}=\dfrac{|z|}{|z'|}\) .
De même \( arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)\modpi arg\left(\dfrac{z\bar{z'}}{|z'|^2}\right)\modpi arg(z\bar{z'})\modpi arg(z)+arg(\bar{z'})\modpi arg(z)-arg(z')\)
Ces formules montrent que essentiellement le module se comporte comme une racine carré (ce qui est évident au vu de la formule) et que l'argument se comporte comme un logarithme. Cette observation motive la définition suivante.
Définition
Soit \( \vartheta\) un angle défini modulo \( 2\pi\) . On pose
\( e^{i\vartheta}=cos(\vartheta)+isin(\vartheta)\)
La proposition précédente montre que cette notation est cohérente avec ce que nous connaissions de l'exponentielle. Nous retrouvons entre autre \( e^{i\vartheta}e^{i\vartheta'}=e^{i(\vartheta+\vartheta')}\) et \( \dfrac{1}{e^{i\vartheta}}=e^{-i\vartheta}=\bar{e^{i\vartheta}}\) .
Par exemple \( 2e^{i\frac{\pi}{4}}=2\left(cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)
+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}
+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}+i\sqrt{2}\) .
Corollaire
Tout nombre complexe \( z\) peut s'écrire
\[z=re^{i\vartheta}\]
où \( r=|z|\) et \( \vartheta\modpi arg(z)\) . On appel cette forme la forme polaire du nombre complexe.
Déterminons la forme polaire de \( z=1-i\sqrt{3}\) . Pour commencer on a facilement \( |z|=2\) . D'après les formules permettant de passer de coordonnées cartésiennes à polaire on a \( cos(\vartheta)=\dfrac{1}{2}\) et \( sin(\vartheta)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) . Parce qu'on connait bien notre trigonométrie on sait que le seul angle (modulo \( 2\pi\) ) avec cette valeur de cosinus et sinus et \( -\dfrac{\pi}{6}\) . Finalement
\[1-i\sqrt{3}=2e^{-i\frac{\pi}{6}}\]
Corollaire [Formules d'Euler]
Soit \( \vartheta\) un angle défini modulo \( 2\pi\) .
\[cos(\vartheta)=\dfrac{e^{i\vartheta}+e^{-i\vartheta}}{2},\qquad
sin(\vartheta)=\dfrac{e^{i\vartheta}-e^{-i\vartheta}}{2i}\]
\[e^{i\pi}+1=0\]
Démonstration
Il suffit de revenir à la définition de l'exponentielle complexe.
