Les nombres rationnelles
La quatrième opération élémentaire
Il est temps de parler de la quatrième opération élémentaire : la division que l'on note \( \div\) .
D'un coté du miroir nous avons l'addition et la soustraction qui ont quelques propriétés partagées ou complémentaire :
- L'addition \( 123+456\) est pareil que \( 456+123\) . On dis que l'addition est commutative.
- La soustraction \( 123-456\) n'est pas pareil que \( 456-123\) . Mais les deux résultats sont opposés.
De l'autre coté du miroir la division aura le même rôle que la soustraction mais pour la multiplication :
- La multiplication \( 123\times456\) est pareil que \( 456\times123\) .
- La division \( 123\div456\) n'est pas pareil que \( 456\div123\) . Mais les deux résultats sont inverses.
La division de \( 456\) par \( 123\) reviens à se demander combien de paquet de \( 123\) on peut former avec \( 456\) . Pour répondre à cette question on utilise la multiplication. On observe que \( 123\times3=369\) mais que \( 123\times4=492\) . On peut donc mettre 3 paquet de \( 123\) dans \( 456\) mais pas \( 4\) (car le résultat \( 492\) est plus grand que \( 456\) ).
Mais (oui il y a un "mais", sinon ça serait trop facile). Il y a un reste car \( 3\) paquets de \( 123\) font \( 369\) . On peut rajouter \( 87\) pour arriver à \( 456\) . Ce \( 87\) est le résultat de \( 456-123\times 3\) .
Au final \[456=123\times3+87\]
On parle de
division euclidienne.
Rappelons comment poser une division et divisons \( 2019\) par \( 19\) .
On représente la situation dans un tableau
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
On commence par la droite en se demandant combien de paquet de \( 19\) on peut mettre dans \( 20\) .
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
\underline{2}&\underline{0}&1&9&1&9&\\\hline
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
La réponse est évidement \( 1\)
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
&&&&1&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
Sous le \( 20\) on note le résultat de \( 19\times 1\)
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
On réalise la différence dans la partie gauche du tableau.
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&&\\
&1&&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
On
fait descendre le prochain chiffre qui compose le nombre \( 2019\) à savoir le \( 1\) puisque le \( 2\) et le \( 0\) ont été traité.
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&&\\
&\underline{1}&\underline{1}&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
On se demande alors combien de paquet de \( 19\) on peut mettre dans \( 11\) et on note le résultat dans la partie droite du tableau.
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&\\
&1&1&&&&\\
&&&&&&\\
&&&&&&
\end{array}
\]
Comme précédemment on note le résultat de \( 19\times 0\) sous le \( 11\) et on réalise la différence
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&\\
&1&1&&&&\\
&&0&&&&\\
&1&1&&&&
\end{array}
\]
On fait descendre le prochain chiffre
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&\\
&1&1&&&&\\
&&0&&&&\\
&\underline{1}&\underline{1}&\underline{9}&&&
\end{array}
\]
et on se demande combien de paquet de \( 19\) on peut mettre dans \( 119\) . La réponse est \( 6\) .
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&6\\
&1&1&&&&\\
&&0&&&&\\
&1&1&9&&&
\end{array}
\]
On note le résultat de \( 19\times 6\) sous le \( 119\)
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&6\\
&1&1&&&&\\
&&0&&&&\\
&1&1&9&&&\\
&1&1&4&&&
\end{array}
\]
Et on fait la différence
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
2&0&1&9&1&9&\\\hline
1&9&&&1&0&6\\
&1&1&&&&\\
&&0&&&&\\
&1&1&9&&&\\
&1&1&4&&&
\end{array}
\]
Il n'y a plus de chiffre
à faire descendre. Donc on s'arrête ici.
Au final \( 2019=19\times 106+5\) .
Des virgules ... mais pas trop !
La division euclidienne est une pierre angulaire de nombreux concepts et central en théorie des nombres. Nous n'allons pas prolonger dans cette direction. Nous allons nous diriger vers un nouvel ensemble de nombre : celui des nombres à virgules !
Reprenons une division \( 1234\div5\)
\[
\begin{array}{cccc|ccc}
1&2&3&4&5&&\\\hline
1&0&&&2&4&6\\
&2&3&&&&\\
&2&0&&&&\\
&&3&4&&&\\
&&3&0&&&\\
&&&4&&&
\end{array}
\]
Une fois qu'on arrive à la fin d'une division on peut la continuer en rajoutant une virgule et en faisant descendre des \( 0\) . Dans l'exemple précédent on poursuivrait de la manière suivante :
On commence par faire apparaitre une virgule et en faisant tomber un \( 0\) :
\[
\begin{array}{ccccc|cccc}
1&2&3&4&&5&&&\\\hline
1&0&&&&2&4&6,&\\
&2&3&&&&&&\\
&2&0&&&&&&\\
&&3&4&&&&&\\
&&3&0&&&&&\\
&&&4&0&&&&
\end{array}
\]
et on continue jusqu'à ce qu'il n'y ai plus de reste (ou plus précisément que le reste devienne nul).
\[
\begin{array}{ccccc|cccc}
1&2&3&4&&5&&&\\\hline
1&0&&&&2&4&6,&8\\
&2&3&&&&&&\\
&2&0&&&&&&\\
&&3&4&&&&&\\
&&3&0&&&&&\\
&&&4&0&&&&\\
&&&4&0&&&&\\
&&&&0&&&&
\end{array}
\]
On parle de
nombres décimaux les nombres s'écrivant avec des virgules. La partie avant la virgule est appelée
la partie entière et la partie après la virgule est
la partie décimale. On note \( \mathbb{D}\) l'ensemble des nombres décimaux.
Il y a des divisions qui sont plus facile que d'autre, exactement comme les multiplications. En effet nous avons vu que multiplier par \( 10\) revenait à ajouter des \( 0\) à droite.
Diviser par \( 10\) reviens à déplacer la virgule à gauche d'un cran comme dans \( 123\div10=12,3\) ou dans \( 45,6\div10=4,56\) .
On devine aisément que diviser par \( 100\) revient à déplacer la virgule de deux crans et diviser par \( 1\underbrace{0...0}_{\text{314}}\) reviens à décaler de \( 314\) cran vers la gauche. Bien sur lorsqu'il n'y a plus de chiffre à gauche on ne rajoute rien, et rien en mathématique c'est \( 0\) .
\[123\div 100\ 000=0,001\ 23\]
De la même manière multiplier un nombre à virgule par \( 10\) reviens à déplacer la virgule à droite comme dans \( 12,34\times 10=123,4\) et dans \( 456, 789\times 100=45\ 678, 9\) .
Des fractions !
Il arrive parfois que les divisions ne s'arrête pas comme par exemple
\[
\begin{array}{cccc|cccc}
4&&&&3&&&\\\hline
3&&&&1,&3&3&3\\
1&0&&&&&&\\
&9&&&&&&\\
&1&0&&&&&\\
&&9&&&&&\\
&&1&0&&&&\\
&&&9&&&&\\
&&&1&&&&\\
\end{array}
\]
Alors attention ! Jamais, ô grand jamais nous n'écrirons \( 4\div 3=1, 3333....\) . D'une part les points de suspension sont à bannir, car on ne sait jamais ce qu'ils peuvent cacher. D'autre part, il ne s'agit en aucun cas d'une égalité. A la limite on pourra écrire \( 4\div 3\simeq 1, 333\) pour
a peu prés égale.
Alors pourquoi se prendre la tête pour des centièmes de décimale ?
Pour la simple raison que les mathématiques sont une science exacte et que les approximation numérique sont davantage du monde physique que mathématique. D'un point de vue physique il est impossible qu'une voiture aille à une vitesse de \( 50\) km/h. Car en math, \( 50=50\) mais pour la physique \( 49, 99\) km/h ... on est d'accord c'est \( 50\) km/h (même pour les radars). Bref, en math on est précis et exacte. On laisse l'approximation aux humains.
Bien acceptons cette magnifique réalité (qui n'existe donc aucunement dans la nature) et tentons de donner la valeur exacte de \( 4\div 3\) . Voici la réponse : \( 4\div 3\) .
On ne peut pas faire mieux que cette division, on la laisse donc en l'état. Bon pas tout à fait, on va plutôt noter \( \dfrac{4}{3}\) et on va parler de
fraction plutôt que de division.
D'ailleurs depuis le début nous aurions pu deviner que cela finirait de la sorte. Regarder de plus prés le symbole de division \( \div\) . Un point au dessus et en dessous d'une barre horizontale. C'est la notation générique d'une fraction.
On note \( \mathbb{Q}\) l'ensemble des fractions (cela viens de
quotiente pour préciser qu'il s'agit en fait de division)
En fait, on va oublier \( \mathbb{D}\)
Oui ! Cet ensemble, \( \mathbb{D}\) , est l'ensemble des nombres à virgule. Mais comme nous l'avons observer \( 1,5=15\div10=\dfrac{15}{10}\) . Donc du coup c'est plus du tout marrant de manipuler des nombres à virgules (puis c'est pas beau) !
Mais là on se retrouve avec un nouveau problème. Si on pose l'opération \( 3\div2\) on obtient \( 1,5\) . On arrive alors à la drôle d'égalité :
\[\dfrac{3}{2}=3\div2=1,5=15\div10=\dfrac{15}{10}\]
Deux fractions, qui ont l'air différente... sont égales... oula, vite un théorème pour régler ce problème !
Les lois du monde des fractions
Dans une fraction, on appel
numérateur le nombre du haut et
dénominateur le nombre du bas. L'entier \( 4\) est le numérateur de \( \dfrac{4}{3}\) et \( 3\) est le dénominateur.
- Règle 0 : Pas par zéro !
- C'est pas vraiment une règle, mais disons une erreur à ne surtout jamais commettre !
Il n'est pas possible de diviser par 0.
Diviser par \( 0\) n'a pas de sens commun. D'un point de vu fractionnaire il n'est pas possible d'avoir de \( 0\) au dénominateur (en bas).
- Règle 1 : Par un !
- Diviser par \( 1\) reviens à ne rien faire (comme multiplier par \( 1\) ). Avec une formule :
\[\dfrac{a}{1}=a\]
- Règle 2 : Égalité de fraction.
- Deux fractions sont égales si il y a un même coefficient multiplicateur pour numérateur et dénominateur. Avec une jolie formule on a :
\[\dfrac{k\times a}{k\times b}=\dfrac{a}{b}\]
Il suffit de remplacer \( a\) , \( b\) et \( k\) par n'importe quel nombre (sans mettre de \( 0\) au dénominateur). L'important dans cette formule c'est de bien s'assurer qu'il s'agisse de multiplication et en aucun cas d'addition ou de soustraction. Ainsi
\( \dfrac{15}{10}=\dfrac{5\times 3}{5\times 2}=\dfrac{3}{2}\) .
On dis que le numérateur et le dénominateur on un facteur commun. Voici d'autre exemple d'égalité : \( \dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}\) , \( \dfrac{12}{24}=\dfrac{120}{240}\) , \( \dfrac{10}{12}=\dfrac{5}{6}\) .
- Règle 3 : Additionner c'est pas toujours possible mais en fait si !
- Il n'est possible d'additionner des fractions uniquement lorsqu'elles ont le même dénominateur en additionnant leur numérateur. Précisément \( \dfrac{11}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{11+2}{3}=\dfrac{13}{3}\) .
Il n'est pas possible d'additionner \( \dfrac{11}{3}\) et \( \dfrac{5}{6}\) car ce deux fractions n'ont pas le même dénominateur. MAIS on peut faire en sorte qu'ils aient le même pour les deux fractions en utilisant la règle 2. En effet si dans la fraction \( \dfrac{11}{3}\) on multiplie en haut et en bas par \( 2\) on arrive à \( \dfrac{11}{3}=\dfrac{11\times 2}{3\times 2}=\dfrac{22}{6}\) . Ainsi \( \dfrac{11}{3}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{22}{6}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{22+5}{6}=\dfrac{27}{6}\) .
- Règle 4 : Le signe peut se balader !
-
\[\dfrac{-3}{2}=\dfrac{3}{-2}=-\dfrac{3}{2}\]
Dans la pratique, on évite autant que possible les nombres négatifs au dénominateur. En particulier, on peut simplement soustraire les fraction en jouant avec le signe et en se ramenant à une addition :
\( \dfrac{11}{3}-\dfrac{5}{6}=\dfrac{11}{3}+\dfrac{-5}{6}=\dfrac{22}{6}+\dfrac{-5}{6}=\dfrac{22+(-5)}{6}=\dfrac{17}{6}\) .
Attention à ne pas oublier la règle des signes : \( \dfrac{-3}{-2}=\dfrac{3}{2}\) .
- Règle 5 : Multiplier c'est facile.
- Numérateur avec numérateur et dénominateur avec dénominateur ! Avec une jolie formule on a
\( \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\) .
Par exemple : \( \dfrac{3}{2}\times\dfrac{5}{7}=\dfrac{3\times 5}{2\times 7}=\dfrac{15}{14}\) .
- Règle 6 : Pour inverser, on inverse !
- L'inverse de la fraction \( \dfrac{3}{2}\) est la fraction \( \dfrac{2}{3}\) . On a inverser numérateur et dénominateur. En particulier, en jouant avec la règle 1, l'inverse de \( 14\) est \( \dfrac{1}{14}\) . Ne pas confondre avec l'opposé. L'opposé de \( 14\) est \( -14\) .
- Règle 7 : Diviser des divisions c'est multiplier !
- Diviser par une fraction reviens à multiplier par son inverse. En formule :
\[\dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{a}{b}\times \dfrac{d}{c}=\dfrac{a\times d}{b\times c}\]
On peut en particulier, additionner ou multiplier les nombres à virgule en utilisant les règles précédentes accompagner des remarques sur la division par \( 10\) . Par exemple :
\[12,34+5,678=\dfrac{1234}{100}+\dfrac{5\ 678}{1\ 000}
=\dfrac{1\ 234\times 10}{100\times 10}+\dfrac{5\ 678}{1000}
=\dfrac{12\ 340}{1\ 000}+\dfrac{5\ 678}{1\ 000}
=\dfrac{12\ 340+5\ 678}{1\ 000}
=\dfrac{18\ 018}{1\ 000}
=18,018\]
Des pourcentages ?
Un pourcentage n'est rien d'autre qu'une fraction avec \( 100\) au dénominateur. Il faut "juste" retenir que lorsqu'en français on prononce le mot "de" cela correspond à une multiplication dans le monde des mathématiques. Ainsi \( 30\%\) de \( 90\) € correspond à l'opération \( \dfrac{30}{100}\times 90\) . Il suffit d'utiliser les lois du monde des fractions pour faire ce calcul :
\[\dfrac{30}{100}\times 90=\dfrac{30}{100}\times \dfrac{90}{1}
=\dfrac{30\times 90}{100\times 1}
=\dfrac{2\ 700}{100}
=\dfrac{27\times 100}{1 \times 100}
=\dfrac{27}{1}
=27\]
Ainsi si une paire de chaussure coûte \( 90\) € mais que vous avez une réduction de \( 30\%\) vous paierez \( 90-27=63\) €.
Si maintenant je revend cette paire de chaussure \( 30\%\) plus chers que ce que je l'ai achetée, combien vais-je la vendre ?
Vous devinez bien que cette question en apparence facile cache un beau piège comme nous (les prof de math) en avons le secret !
Il serait prématuré de répondre le prix de \( 90\) € a été raboter de \( 30\%\) puis on le revend \( 30\%\) de plus donc on reviens à \( 90\) €. Laissons nous porter par les calculs : le prix d'achat était de \( 63\) € que vaut \( 30\%\) de \( 63\) € ? Réponse: \[\dfrac{30}{100}\times 63=\dfrac{30}{100}\times \dfrac{63}{1}=\dfrac{30\times 63}{100\times 1}=\dfrac{1\ 890}{100}=18,9\]
Le nouveau prix de vente sera alors \( 63+18,9=81,9\) .
Quelle est alors le pourcentage de perte entre le prix de vente sans réduction (\( 90\) €) et le nouveau prix de vente (\( 81,9\) €) ?
La différence de prix est de \( 8,1\) € (\( 90-81,9\) ). Le pourcentage associé est donc \( \dfrac{8,1}{90}\times 100\) (la différence par rapport au prix initial que l'on multiplie par \( 100\) pour avoir un pourcentage).
\[\dfrac{8,1}{90}\times 100
=\dfrac{\dfrac{81}{10}}{\dfrac{90}{1}}\times \dfrac{100}{1}
={\dfrac{81}{10}}\times {\dfrac{1}{90}}\times \dfrac{100}{1}
=\dfrac{81\times 1 \times 100}{10\times 90\times 1}
=\dfrac{9\times 9 \times 10\times 10}{10\times 9\times 10}
=\dfrac{9}{1}
=9
\]
Ainsi la perte est de \( 9\%\) du prix de départ. Attention les pourcentage sont des fractions et les règles d'addition et de soustractions sont très strictes !
Autre exemple : vous bénéficier de \( 1000\) € de bourse. On vous annonce une augmentation de \( 20\%\) en 2020 mais deux réductions successives en 2021 et 2022 de \( 9\%\) . On vous souligne donc qu'une augmentation de \( 20\%\) suivit de deux diminution de \( 9\%\) font qu'au bout de trois ans, la bourse sera augmenter de \( 20-9-9=2\%\) .
Réalisons les calculs !
En 2020 vous recevrez \( 1000+\dfrac{20}{100}\times 1000=1200\) €.
En 2021 vous recevrez \( 1200-\dfrac{9}{100}\times 1200=1092\) €.
En 2022 vous recevrez \( 1092-\dfrac{9}{100}\times 1092=993.72\) €.
Ce qui correspond au final à une diminution de \( \dfrac{1000-993.72}{1000}\times 100=0,628\%\) de la bourse...
