\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Les nombres réelles

Puissances de 10

Comme nous l'avons remarqué au chapitre précédent, les points de suspension sont à bannir car ils peuvent cacher bien des problèmes. Si vous avez été attentif aux précédent chapitre, nous avons tout de même utiliser ces fameux points de suspension : $ 3\times 1\underbrace{0...0}_{314}=3\underbrace{0...0}_{314}$ . Les puissances vont pouvoir régler ce problème ! La puissance se note en exposant et un petit peu plus petit et correspond au produit du nombre autant de fois que la puissance (l'exposant) est indiquée : $ 10^2=10\times10=100$ . Précisément $ 10^{machin}=1\underbrace{0...0}_{machin}$ . Bien sur la notion de puissance a un sens lorsque l'exposant est un entier positif. Mais il est également possible de donner un sens aux puissances négatives en utilisant les fractions $ 10^{-3}=\dfrac{1}{10^3}=\dfrac{1}{1\ 000}=0,001$ . Précisément $ 10^{-machin}=\dfrac{1}{10^{machin}}=\dfrac{1}{1\underbrace{0...0}_{machin}}=\underbrace{0,0...0}_{machin}1$ . Les puissances de $ 10$ respectent quelques petites règles :

$ \bullet$: $ 10^0=1$
$ \bullet$: $ 10^1=10$
$ \bullet$: $ 10^n\times10^m=10^{n+m}$
$ \bullet$: $ \dfrac{10^n}{10^m}=10^{n-m}$
$ \bullet$: $ (10^n)^m=10^{nm}$

Attention, les puissances sont en fait des multiplications cachées. il n'existe donc pas de formule permettant de calculer simplement $ 10^n-10^m$ !

Puissances de pas 10

En fait que ça soit $ 10$ ou $ 42$ ça ne change rien ! On peut jouer avec n'importe quel nombre $ x$ et $ y$ !

$ \bullet$: $ x^0=1$
$ \bullet$: $ x^1=10$
$ \bullet$: $ x^n\times x^m=x^{n+m}$ . Il est important ici que ça soit le même nombre $ x$ . Par exemple $ 3^2\times 3^7=3^9$ mais $ 3^2\times 4^9=?$
$ \bullet$: $ \dfrac{x^n}{x^m}=x^{n-m}$ . Même remarque que précédemment : il faut que ça soit le même $ x$ .
$ \bullet$: $ (x^n)^m=x^{nm}$
$ \bullet$: $ (xy)^n=x^{n}\times y^n$

Voici un exemple d'utilisation de ces règles permettant de simplifier des expression rationnelle (c'est le mot pompeux pour parler de fraction): \[\dfrac{9^2\times 10}{3^3\times 8}= \dfrac{(3^2)^2\times (2\times 5)}{3^3\times 2^3}= \dfrac{3^{2\times 2}\times (2\times 5)}{3^3\times 2^3}= \dfrac{3^4\times 2^1\times 5^1}{3^3\times 2^3}= \dfrac{3^{4-3}\times 5^1}{2^{3-1}}= \dfrac{{3^{1}\times 5^1}}{2^2}= \dfrac{15}{4}=3,75 \]

La réciproque du carré

Lorsque l'on met un nombre à la puissance 2 on dit qu'il est au carré. La racine carré d'un nombre, est un nombre dont le carré vaut le nombre de départ. Par exemple la racine carré de $ 9$ est un nombre dont le carré vaut $ 9$ . Le nombre $ 3$ répond à la question. On note la racine carré d'un nombre $ x$ par $ \sqrt{x}$ . Le symbole $ \sqrt{}$ viens d'une déformation de la lettre $ r$ pour radical signifiant racine carré. Autre exemple : $ \sqrt{16}=4$ car le carré de $ 4$ donne $ 16$ . De même $ \sqrt{25}=5$ . Il n'est pas toujours possible de déterminer la racine carré d'un nombre. Par exemple que vaut $ \sqrt{2}$ ? On cherche un nombre qui au carré, donne $ 2$ . On peut démontrer non sans peine qu'il n'existe aucun nombre fractionnaire égale à la racine carré de $ 2$ . Ce nombre $ \sqrt{2}$ n'est pas une fraction ! Il n'est pas dans l'ensemble $ \mathbb{Q}$ . Il appartient à un ensemble plus grand : celui des nombres réels qui est noté $ \mathbb{R}$ . Il n'est pas possible de calculer $ \sqrt{2}$ sans calculatrice. La calculatrice donne $ \sqrt{2}\simeq1,414$ et plein d'autre chiffre après la virgule. Dans ce cas, on pourrait imaginer que $ \sqrt{2}$ est un élément de $ \mathbb{D}$ , mais il s'avère que les décimales ne répondent à aucune règle de répétition. Il ne s'agit que d'une approximation numérique. Comme il y a quelques règles avec les puissances (donc donc avec les carré), il y a quelques règles avec les racines carrées. Tout d'abord, rappelons-nous la règle des signes. Quel est le signe de $ x^2$ ? Si $ x$ est de signe $ +$ alors la règle des signes donne que $ x^2=x\times x$ est de signe $ +$ . Si $ x$ est de signe $ -$ alors $ x^2=x\times x$ est de signe $ +$ aussi. A quoi correspond alors le nombre $ \sqrt{-1}$ ? Par définition c'est un nombre dont le carré donne $ -1$ c'est à dire un carré qui est de signe $ -$ ... IMPOSSIBLE ! Car comme nous venons de le signaler, un carré est toujours de signe $ +$ . Bon en fait, on verra biiiiiien plus tard que l'on peut donner un sens à la racine carré des nombres négatifs mais il faudra se placer dans un autre ensemble. Pour l'instant gardons en tête que la racine carré ne peut prendre que des nombres positifs ! Puisqu'une racine carré viens de la puissance $ 2$ , elle hérite de certaine règle avec des nombres réels positifs $ x$ et $ y$ :

$ \bullet$: $ \sqrt{0}=0$
$ \bullet$: $ \sqrt{1}=1$
$ \bullet$: $ \sqrt{x^2}=x$
$ \bullet$: $ \sqrt{x}^2=x$
$ \bullet$: $ \sqrt{xy}=\sqrt{x}\times\sqrt{y}$
$ \bullet$: $ \sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$

Attention il n'existe pas de formule permettant de calculer simplement $ \sqrt{x+y}$ . On peut combiner ces règles, et les règles des puissances, pour réaliser des calculs : \[\sqrt{1000}=\sqrt{10^3}=\sqrt{10^2\times10^1}=\sqrt{10^2}\times\sqrt{10^1}=10\times\sqrt{10}\] \[\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\times\sqrt{3}\]

La réciproque du cube ? Sérieusement ?

Lorsqu'un nombre est à la puissance 3, on dis qu'il est au cube. La racine cubique d'un nombre $ x$ est un nombre, noté $ \sqrt[3]{x}$ appelé la racine cubique de $ x$ , qui mit au cube donne $ x$ . Comme par exemple $ \sqrt[3]{8}=2$ car $ 2^3=8$ . N'ayez pas peur, ce n'est pas du tout au programme et il n'y aura aucune question sur la racine cubique. L'idée ici est de montrer que le $ 2$ de la racine carré peut être remplacé par n'importe quel nombre entier et que les propriétés et formules restent globalement les même. Bref, aux exos !