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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 25\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}15 & 2 \\ 8 & 1\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[BEPQQM\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 25 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
25 & 1 & 0 & 25&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 25\) est \( 25\) .
- D'après le cours \( det(A)= -1\equiv_{26}25\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}15 & 2 \\ 8 & 1\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 25\begin{pmatrix}1 & -2 \\ -8 & 15\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & -50 \\ -200 & 375\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & -24 \\ -18 & 11\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & B & E & P & Q & Q & M\\\hline Codex & 1 & 4 & 15 & 16 & 16 & 12\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}15 \\ 16\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}16 \\ 12\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}25 & -24 \\ -18 & 11\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-71 \\ 26\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-9 \\ -94\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}112 \\ -156\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}7 \\ 0\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 10\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}8 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 7 & 0 & 17 & 10 & 8 & 0\\\hline Message & H & A & R & K & I & A\end{array}\]Le message claire est \( HARKIA \) .
