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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 11\) modulo \( 26\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}19 & 12 \\ 12 & 15\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[ROROEI\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
26 & 11 & 4 & 2&3 & -7 \\ \hline
11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline
4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 11\) est \( 19\) .
- D'après le cours \( det(A)= 141\equiv_{26}11\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}19 & 12 \\ 12 & 15\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{26} 19\begin{pmatrix}15 & -12 \\ -12 & 19\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}285 & -228 \\ -228 & 361\end{pmatrix}
\equiv_{26}\begin{pmatrix}25 & -20 \\ -20 & 23\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & R & O & R & O & E & I\\\hline Codex & 17 & 14 & 17 & 14 & 4 & 8\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 14\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}17 \\ 14\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}4 \\ 8\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}25 & -20 \\ -20 & 23\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}145 \\ -18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}145 \\ -18\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-60 \\ 104\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &{ \begin{pmatrix}15 \\ 8\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}15 \\ 8\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}18 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 15 & 8 & 15 & 8 & 18 & 0\\\hline Message & P & I & P & I & S & A\end{array}\]Le message claire est \( PIPISA \) .
