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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 1685\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}2323 & 1558 \\ 123 & 1835\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[1852-2013-459-1715\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 1685 & 841 & 1&561 & -841 \\ \hline
1685 & 841 & 3 & 2&-280 & 561 \\ \hline
841 & 3 & 1 & 280&1 & -280 \\ \hline
3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 1685\) est \( 1685\) .
- D'après le cours \( det(A)= 4071071\equiv_{2526}1685\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- D'après le cours :
\[ \begin{pmatrix}2323 & 1558 \\ 123 & 1835\end{pmatrix}^{-1} \equiv_{2526} 1685\begin{pmatrix}1835 & -1558 \\ -123 & 2323\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}3091975 & -2625230 \\ -207255 & 3914255\end{pmatrix}
\equiv_{2526}\begin{pmatrix}151 & -716 \\ -123 & 1481\end{pmatrix}
\]
- \[\begin{array}{r|*{4}{|c}} Cryptogramme & 1852 & 2013 & 459 & 1715\\\hline Vecteurs & &{ \begin{pmatrix}1852 \\ 2013\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}459 \\ 1715\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}151 & -716 \\ -123 & 1481\end{pmatrix} & &{ \begin{pmatrix}-1161656 \\ 2753457\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}-1158631 \\ 2483458\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &{ \begin{pmatrix}304 \\ 117\end{pmatrix} } & &{ \begin{pmatrix}803 \\ 400\end{pmatrix} }\\\hline & 304 & 117 & 803 & 400\\\hline Message & DE & BR & ID & EA\end{array}\]Le message claire est \( DEBRIDEA \) .
