\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


  1. Calculer l'inverse modulaire de \( 15\) modulo \( 26\) .
  2. Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}10 & 4 & 9 \\ 7 & 2 & 5 \\ 3 & 13 & 20\end{pmatrix}\) .
  3. Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 26\) .
  4. Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) . A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}-25 & 37 & 2 \\ -125 & 173 & 13 \\ 85 & -118 & -8\end{pmatrix}\) .
  5. Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 1 de clef \( A \) : \[MFNMHGUBV\]
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Exercice


  1. \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline a&b&r&q&u&v \\ \hline 26 & 15 & 11 & 1&-4 & 7 \\ \hline 15 & 11 & 4 & 1&3 & -4 \\ \hline 11 & 4 & 3 & 2&-1 & 3 \\ \hline 4 & 3 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline 3 & 1 & 0 & 3&0 & 1 \\ \hline \end{array}\] L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 15\) est \( 7\) .
  2. D'après le cours \( det(A)= 15\equiv_{26}15\) .
  3. La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 26\) .
  4. Réalisation le produit suggéré par l'énoncé : \begin{eqnarray*} A\times B &=& \begin{pmatrix}10 & 4 & 9 \\ 7 & 2 & 5 \\ 3 & 13 & 20\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-25 & 37 & 2 \\ -125 & 173 & 13 \\ 85 & -118 & -8\end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}15 & 0 & 0 \\ 0 & 15 & 0 \\ 0 & 0 & 15\end{pmatrix}\\ &=&15\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\ &\equiv_{26}&15\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*} Ainsi \( A\times B\equiv_{26}15Id_{3}\) . Puisque \( 7\) est l'inverse de \( 15\) modulo \( 26\) , on en déduit que \( A\times (7B)\equiv_{26} Id_{3}\) et donc que \( 7B\equiv_{26}A^{-1}\) . En conclusion : \[ A^{-1}\equiv_{26}7\begin{pmatrix}-25 & 37 & 2 \\ -125 & 173 & 13 \\ 85 & -118 & -8\end{pmatrix}\equiv_{26}\begin{pmatrix}-19 & 25 & 14 \\ -17 & 15 & 13 \\ 23 & -20 & -4\end{pmatrix}\]
  5. \[\begin{array}{r|*{9}{|c}} Cryptogramme & M & F & N & M & H & G & U & B & V\\\hline Codex & 12 & 5 & 13 & 12 & 7 & 6 & 20 & 1 & 21\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}12 \\ 5 \\ 13\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}12 \\ 7 \\ 6\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}20 \\ 1 \\ 21\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}-19 & 25 & 14 \\ -17 & 15 & 13 \\ 23 & -20 & -4\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}79 \\ 40 \\ 124\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}31 \\ -21 \\ 112\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}-61 \\ -52 \\ 356\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{26} & &&{ \begin{pmatrix}1 \\ 14 \\ 20\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 8\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}17 \\ 0 \\ 18\end{pmatrix} }\\\hline & 1 & 14 & 20 & 5 & 5 & 8 & 17 & 0 & 18\\\hline Message & B & O & U & F & F & I & R & A & S\end{array}\]Le message claire est \( BOUFFIRAS \) .