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Exercice
- Calculer l'inverse modulaire de \( 2491\) modulo \( 2526\) .
- Calculer le déterminant de la matrice \( A = \begin{pmatrix}1613 & 2362 & 2234 \\ 423 & 2459 & 15 \\ 1706 & 1386 & 195\end{pmatrix}\) .
- Expliquer pourquoi la matrice \( A \) est inversible modulo \( 2526\) .
- Déterminer l'inverse de la matrice \( A \) .
A cette fin, on pourra considérer le produit de la matrice \( A\) par la matrice \( B =\begin{pmatrix}458715 & 2635734 & -5457976 \\ -56895 & -3496669 & 920787 \\ -3608776 & 1793954 & 2967241\end{pmatrix}\) .
- Déchiffrer le message suivant, crypté par la méthode de Hill par paquet de 2 de clef \( A \) : \[92-1412-1984-1070-2484-380\]
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Exercice
- \[\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|}\hline
a&b&r&q&u&v \\ \hline
2526 & 2491 & 35 & 1&-427 & 433 \\ \hline
2491 & 35 & 6 & 71&6 & -427 \\ \hline
35 & 6 & 5 & 5&-1 & 6 \\ \hline
6 & 5 & 1 & 1&1 & -1 \\ \hline
5 & 1 & 0 & 5&0 & 1 \\ \hline
\end{array}\]
L'algorithme d'Euclide étendu, montre que l'inverse modulaire de \( 2491\) est \( 433\) .
- D'après le cours \( det(A)= -7456484279\equiv_{2526}2491\) .
- La matrice \( A \) est inversible car le déterminant est inversible modulo \( 2526\) .
- Réalisation le produit suggéré par l'énoncé :
\begin{eqnarray*}
A\times B
&=& \begin{pmatrix}1613 & 2362 & 2234 \\ 423 & 2459 & 15 \\ 1706 & 1386 & 195\end{pmatrix}\begin{pmatrix}458715 & 2635734 & -5457976 \\ -56895 & -3496669 & 920787 \\ -3608776 & 1793954 & 2967241\end{pmatrix}\\
&=& \begin{pmatrix}-7456484279 & 0 & 0 \\ 0 & -7456484279 & 0 \\ 0 & 0 & -7456484279\end{pmatrix}\\
&=&-7456484279\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\\
&\equiv_{2526}&2491\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
Ainsi \( A\times B\equiv_{2526}2491Id_{3}\) . Puisque \( 433\) est l'inverse de \( 2491\) modulo \( 2526\) , on en déduit que \( A\times (433B)\equiv_{2526} Id_{3}\) et donc que \( 433B\equiv_{2526}A^{-1}\) . En conclusion :
\[ A^{-1}\equiv_{2526}433\begin{pmatrix}458715 & 2635734 & -5457976 \\ -56895 & -3496669 & 920787 \\ -3608776 & 1793954 & 2967241\end{pmatrix}\equiv_{2526}\begin{pmatrix}1689 & 762 & -742 \\ -1983 & -1063 & 1983 \\ -1252 & 1718 & 817\end{pmatrix}\]
- \[\begin{array}{r|*{6}{|c}} Cryptogramme & 92 & 1412 & 1984 & 1070 & 2484 & 380\\\hline Vecteurs & &&{ \begin{pmatrix}92 \\ 1412 \\ 1984\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}1070 \\ 2484 \\ 380\end{pmatrix} }\\\hline\begin{pmatrix}1689 & 762 & -742 \\ -1983 & -1063 & 1983 \\ -1252 & 1718 & 817\end{pmatrix} & &&{ \begin{pmatrix}-240796 \\ 2250880 \\ 3931560\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}3418078 \\ -4008762 \\ 3238332\end{pmatrix} }\\\hline\equiv_{2526} & &&{ \begin{pmatrix}1700 \\ 214 \\ 1104\end{pmatrix} } & &&{ \begin{pmatrix}400 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} }\\\hline & 1700 & 214 & 1104 & 400 & 0 & 0\\\hline Message & RA & CO & LE & EA & AA & AA\end{array}\]Le message claire est \( RACOLEEAAAAA \) .