\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ -4 & -\dfrac{12}{5} & \dfrac{1}{2} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & 2 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & 1 & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & 5 & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (2, 2)\) et \( (1, 3)\) : \( \widehat{A}_{2, 2}=\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ 0 & -\dfrac{16}{15} & \dfrac{33}{2} & 21 & \dfrac{3}{5} \\ 0 & \dfrac{43}{12} & \dfrac{37}{2} & \dfrac{407}{20} & \dfrac{113}{20} \\ 0 & \dfrac{31}{6} & \dfrac{213}{4} & \dfrac{129}{2} & 20 \\ 0 & \dfrac{25}{4} & 10 & \dfrac{43}{2} & \dfrac{17}{4}\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{2, 1}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&\dfrac{1}{3}y &+&4z &+&5t &+&\dfrac{7}{5}u &=&1\\ &-4x&-&\dfrac{12}{5}y &+&\dfrac{1}{2}z &+&t &-&5u &=&-2\\ &-\dfrac{19}{4}x&+&2y &-&\dfrac{1}{2}z &-&\dfrac{17}{5}t &-&u &=&-4\\ &-\dfrac{25}{2}x&+&y &+&\dfrac{13}{4}z &+&2t &+&\dfrac{5}{2}u &=&3\\ &-\dfrac{15}{4}x&+&5y &-&5z &+&\dfrac{11}{4}t &-&u &=&7\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{36868}{683169}x&-&\dfrac{49430}{2049507}y &+&\dfrac{44396}{2049507}z &-&\dfrac{50180}{683169}t &-&\dfrac{93752}{10247535}u &=&5\\ &\dfrac{180785}{910892}x&-&\dfrac{317255}{5465352}y &+&\dfrac{188305}{683169}z &-&\dfrac{82255}{910892}t &+&\dfrac{91151}{1366338}u &=&5\\ &\dfrac{835435}{4099014}x&+&\dfrac{268055}{24594084}y &+&\dfrac{1292950}{6148521}z &-&\dfrac{171593}{4099014}t &-&\dfrac{517079}{6148521}u &=&6\\ &\dfrac{3880}{89109}x&+&\dfrac{10750}{267327}y &-&\dfrac{39220}{267327}z &+&\dfrac{2260}{89109}t &+&\dfrac{18716}{267327}u &=&6\\ &-\dfrac{99605}{910892}x&-&\dfrac{785425}{5465352}y &-&\dfrac{107905}{683169}z &+&\dfrac{93815}{910892}t &-&\dfrac{26111}{1366338}u &=&-3\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{2, 2}=\begin{pmatrix}1 & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ -\dfrac{19}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\begin{pmatrix}-4 & -\dfrac{12}{5} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & 2 & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & 1 & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & 5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(-4\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-\dfrac{19}{4}\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-\dfrac{25}{2}\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(-\dfrac{15}{4}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ 0 & -\dfrac{16}{15} & \dfrac{33}{2} & 21 & \dfrac{3}{5} \\ 0 & \dfrac{43}{12} & \dfrac{37}{2} & \dfrac{407}{20} & \dfrac{113}{20} \\ 0 & \dfrac{31}{6} & \dfrac{213}{4} & \dfrac{129}{2} & 20 \\ 0 & \dfrac{25}{4} & 10 & \dfrac{43}{2} & \dfrac{17}{4}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-\dfrac{16}{15} & \dfrac{33}{2} & 21 & \dfrac{3}{5} \\ \dfrac{43}{12} & \dfrac{37}{2} & \dfrac{407}{20} & \dfrac{113}{20} \\ \dfrac{31}{6} & \dfrac{213}{4} & \dfrac{129}{2} & 20 \\ \dfrac{25}{4} & 10 & \dfrac{43}{2} & \dfrac{17}{4}\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{2049507}{200} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(\dfrac{2049507}{200}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ -4 & -\dfrac{12}{5} & \dfrac{1}{2} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & 2 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & 1 & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & 5 & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix} =\dfrac{200}{2049507}\begin{pmatrix}\dfrac{75561224076}{136633800} & -\dfrac{101307131010}{409901400} & \dfrac{90989912772}{409901400} & -\dfrac{102844261260}{136633800} & -\dfrac{192145380264}{2049507000} \\ \dfrac{370520122995}{182178400} & -\dfrac{650216343285}{1093070400} & \dfrac{385932415635}{136633800} & -\dfrac{168582198285}{182178400} & \dfrac{186814612557}{273267600} \\ \dfrac{1712229880545}{819802800} & \dfrac{549380598885}{4918816800} & \dfrac{2649910075650}{1229704200} & -\dfrac{351681054651}{819802800} & -\dfrac{1059757030053}{1229704200} \\ \dfrac{7952087160}{17821800} & \dfrac{22032200250}{53465400} & -\dfrac{80381664540}{53465400} & \dfrac{4631885820}{17821800} & \dfrac{38358573012}{53465400} \\ -\dfrac{204141144735}{182178400} & -\dfrac{1609734035475}{1093070400} & -\dfrac{221152052835}{136633800} & \dfrac{192274499205}{182178400} & -\dfrac{53514677277}{273267600}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{36868}{683169} & -\dfrac{49430}{2049507} & \dfrac{44396}{2049507} & -\dfrac{50180}{683169} & -\dfrac{93752}{10247535} \\ \dfrac{180785}{910892} & -\dfrac{317255}{5465352} & \dfrac{188305}{683169} & -\dfrac{82255}{910892} & \dfrac{91151}{1366338} \\ \dfrac{835435}{4099014} & \dfrac{268055}{24594084} & \dfrac{1292950}{6148521} & -\dfrac{171593}{4099014} & -\dfrac{517079}{6148521} \\ \dfrac{3880}{89109} & \dfrac{10750}{267327} & -\dfrac{39220}{267327} & \dfrac{2260}{89109} & \dfrac{18716}{267327} \\ -\dfrac{99605}{910892} & -\dfrac{785425}{5465352} & -\dfrac{107905}{683169} & \dfrac{93815}{910892} & -\dfrac{26111}{1366338}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{2, 1}=B_{2, 1}= \left(\dfrac{2049507}{200}\right)^{-1}Co(A)_{1, 2}= \left(\dfrac{2049507}{200}\right)^{-1}\times(-1)^{1+2}\det\begin{pmatrix}-4 & \dfrac{1}{2} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}=\dfrac{180785}{910892}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ -4 & -\dfrac{12}{5} & \dfrac{1}{2} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & 2 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & 1 & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & 5 & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&\dfrac{1}{3}y &+&4z &+&5t &+&\dfrac{7}{5}u &=&1\\ &-4x&-&\dfrac{12}{5}y &+&\dfrac{1}{2}z &+&t &-&5u &=&-2\\ &-\dfrac{19}{4}x&+&2y &-&\dfrac{1}{2}z &-&\dfrac{17}{5}t &-&u &=&-4\\ &-\dfrac{25}{2}x&+&y &+&\dfrac{13}{4}z &+&2t &+&\dfrac{5}{2}u &=&3\\ &-\dfrac{15}{4}x&+&5y &-&5z &+&\dfrac{11}{4}t &-&u &=&7\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -4 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{36868}{683169} & -\dfrac{49430}{2049507} & \dfrac{44396}{2049507} & -\dfrac{50180}{683169} & -\dfrac{93752}{10247535} \\ \dfrac{180785}{910892} & -\dfrac{317255}{5465352} & \dfrac{188305}{683169} & -\dfrac{82255}{910892} & \dfrac{91151}{1366338} \\ \dfrac{835435}{4099014} & \dfrac{268055}{24594084} & \dfrac{1292950}{6148521} & -\dfrac{171593}{4099014} & -\dfrac{517079}{6148521} \\ \dfrac{3880}{89109} & \dfrac{10750}{267327} & -\dfrac{39220}{267327} & \dfrac{2260}{89109} & \dfrac{18716}{267327} \\ -\dfrac{99605}{910892} & -\dfrac{785425}{5465352} & -\dfrac{107905}{683169} & \dfrac{93815}{910892} & -\dfrac{26111}{1366338}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -4 \\ 3 \\ 7\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{1.8003203387837E+30}{6.6965832159322E+30} \\ -\dfrac{1.2527119105885E+30}{2.116450991702E+30} \\ -\dfrac{3.5758350967461E+33}{2.6036315543544E+33} \\ \dfrac{5.6437218298434E+25}{5.0565040473186E+25} \\ \dfrac{2.0848476173114E+30}{2.116450991702E+30}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{1.8003203387837E+30}{6.6965832159322E+30}\) , \( y=\dfrac{1.2527119105885E+30}{2.116450991702E+30}\) , \( z=\dfrac{3.5758350967461E+33}{2.6036315543544E+33}\) , \( t=\dfrac{5.6437218298434E+25}{5.0565040473186E+25}\) et \( u=\dfrac{2.0848476173114E+30}{2.116450991702E+30}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{36868}{683169}x&-&\dfrac{49430}{2049507}y &+&\dfrac{44396}{2049507}z &-&\dfrac{50180}{683169}t &-&\dfrac{93752}{10247535}u &=&5\\ &\dfrac{180785}{910892}x&-&\dfrac{317255}{5465352}y &+&\dfrac{188305}{683169}z &-&\dfrac{82255}{910892}t &+&\dfrac{91151}{1366338}u &=&5\\ &\dfrac{835435}{4099014}x&+&\dfrac{268055}{24594084}y &+&\dfrac{1292950}{6148521}z &-&\dfrac{171593}{4099014}t &-&\dfrac{517079}{6148521}u &=&6\\ &\dfrac{3880}{89109}x&+&\dfrac{10750}{267327}y &-&\dfrac{39220}{267327}z &+&\dfrac{2260}{89109}t &+&\dfrac{18716}{267327}u &=&6\\ &-\dfrac{99605}{910892}x&-&\dfrac{785425}{5465352}y &-&\dfrac{107905}{683169}z &+&\dfrac{93815}{910892}t &-&\dfrac{26111}{1366338}u &=&-3\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 6 \\ 6 \\ -3\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & \dfrac{1}{3} & 4 & 5 & \dfrac{7}{5} \\ -4 & -\dfrac{12}{5} & \dfrac{1}{2} & 1 & -5 \\ -\dfrac{19}{4} & 2 & -\dfrac{1}{2} & -\dfrac{17}{5} & -1 \\ -\dfrac{25}{2} & 1 & \dfrac{13}{4} & 2 & \dfrac{5}{2} \\ -\dfrac{15}{4} & 5 & -5 & \dfrac{11}{4} & -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}5 \\ 5 \\ 6 \\ 6 \\ -3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{847}{15} \\ -8 \\ -\dfrac{683}{20} \\ -\dfrac{67}{2} \\ -\dfrac{17}{4}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{847}{15}\) , \( y=8\) , \( z=\dfrac{683}{20}\) , \( t=\dfrac{67}{2}\) et \( u=\dfrac{17}{4}\)