\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 2 & -5 & 0 & -1 & -3 \\ 5 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 5 & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (1, 1)\) et \( (1, 3)\) : \( \widehat{A}_{1, 1}=\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 0 & -13 & \dfrac{17}{2} & \dfrac{25}{3} & -13 \\ 0 & -18 & \dfrac{85}{4} & \dfrac{64}{3} & -25 \\ 0 & 9 & -\dfrac{289}{16} & -19 & \dfrac{71}{4} \\ 0 & -\dfrac{33}{4} & \dfrac{125}{8} & \dfrac{44}{3} & -8\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{5, 1}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&4y &-&\dfrac{17}{4}z &-&\dfrac{14}{3}t &+&5u &=&-1\\ &2x&-&5y &&&-&t &-&3u &=&-1\\ &5x&+&2y &&&-&2t &&&=&-8\\ &-\dfrac{9}{4}x&&&-&\dfrac{17}{2}z &-&\dfrac{17}{2}t &+&\dfrac{13}{2}u &=&9\\ &\dfrac{5}{2}x&+&\dfrac{7}{4}y &+&5z &+&3t &+&\dfrac{9}{2}u &=&2\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{82728}{63367}x&+&\dfrac{49390}{63367}y &-&\dfrac{42338}{63367}z &-&\dfrac{41124}{63367}t &+&\dfrac{408}{63367}u &=&7\\ &-\dfrac{25512}{63367}x&-&\dfrac{25636}{63367}y &+&\dfrac{22009}{63367}z &+&\dfrac{10476}{63367}t &-&\dfrac{3876}{63367}u &=&-2\\ &-\dfrac{174732}{63367}x&-&\dfrac{94152}{63367}y &+&\dfrac{106538}{63367}z &+&\dfrac{84984}{63367}t &+&\dfrac{8624}{63367}u &=&7\\ &\dfrac{181308}{63367}x&+&\dfrac{97839}{63367}y &-&\dfrac{231039}{126734}z &-&\dfrac{92334}{63367}t &-&\dfrac{2856}{63367}u &=&-7\\ &\dfrac{37236}{63367}x&+&\dfrac{21918}{63367}y &-&\dfrac{52801}{126734}z &-&\dfrac{14098}{63367}t &+&\dfrac{7684}{63367}u &=&0\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{1, 1}=\begin{pmatrix}-5 & 0 & -1 & -3 \\ 2 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{7}{4} & 5 & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 3}=\begin{pmatrix}2 & -5 & -1 & -3 \\ 5 & 2 & -2 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(2\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(5\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(-\dfrac{9}{4}\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(\dfrac{5}{2}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 0 & -13 & \dfrac{17}{2} & \dfrac{25}{3} & -13 \\ 0 & -18 & \dfrac{85}{4} & \dfrac{64}{3} & -25 \\ 0 & 9 & -\dfrac{289}{16} & -19 & \dfrac{71}{4} \\ 0 & -\dfrac{33}{4} & \dfrac{125}{8} & \dfrac{44}{3} & -8\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}-13 & \dfrac{17}{2} & \dfrac{25}{3} & -13 \\ -18 & \dfrac{85}{4} & \dfrac{64}{3} & -25 \\ 9 & -\dfrac{289}{16} & -19 & \dfrac{71}{4} \\ -\dfrac{33}{4} & \dfrac{125}{8} & \dfrac{44}{3} & -8\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{63367}{96} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(\dfrac{63367}{96}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 2 & -5 & 0 & -1 & -3 \\ 5 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 5 & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix} =\dfrac{96}{63367}\begin{pmatrix}\dfrac{5242225176}{6083232} & \dfrac{3129696130}{6083232} & -\dfrac{2682832046}{6083232} & -\dfrac{2605904508}{6083232} & \dfrac{17}{4} \\ -\dfrac{1063}{4} & -\dfrac{6409}{24} & \dfrac{22009}{96} & \dfrac{873}{8} & -\dfrac{323}{8} \\ -\dfrac{11072242644}{6083232} & -\dfrac{5966129784}{6083232} & \dfrac{6750993446}{6083232} & \dfrac{5385181128}{6083232} & \dfrac{539}{6} \\ \dfrac{11488944036}{6083232} & \dfrac{6199763913}{6083232} & -\dfrac{14640248313}{12166464} & -\dfrac{5850928578}{6083232} & -\dfrac{119}{4} \\ \dfrac{2359533612}{6083232} & \dfrac{3653}{16} & -\dfrac{3345840967}{12166464} & -\dfrac{7049}{48} & \dfrac{1921}{24}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{82728}{63367} & \dfrac{49390}{63367} & -\dfrac{42338}{63367} & -\dfrac{41124}{63367} & \dfrac{408}{63367} \\ -\dfrac{25512}{63367} & -\dfrac{25636}{63367} & \dfrac{22009}{63367} & \dfrac{10476}{63367} & -\dfrac{3876}{63367} \\ -\dfrac{174732}{63367} & -\dfrac{94152}{63367} & \dfrac{106538}{63367} & \dfrac{84984}{63367} & \dfrac{8624}{63367} \\ \dfrac{181308}{63367} & \dfrac{97839}{63367} & -\dfrac{231039}{126734} & -\dfrac{92334}{63367} & -\dfrac{2856}{63367} \\ \dfrac{37236}{63367} & \dfrac{21918}{63367} & -\dfrac{52801}{126734} & -\dfrac{14098}{63367} & \dfrac{7684}{63367}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{5, 1}=B_{5, 1}= \left(\dfrac{63367}{96}\right)^{-1}Co(A)_{1, 5}= \left(\dfrac{63367}{96}\right)^{-1}\times(-1)^{1+5}\det\begin{pmatrix}2 & -5 & 0 & -1 \\ 5 & 2 & 0 & -2 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 5 & 3\end{pmatrix}=\dfrac{37236}{63367}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 2 & -5 & 0 & -1 & -3 \\ 5 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 5 & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&+&4y &-&\dfrac{17}{4}z &-&\dfrac{14}{3}t &+&5u &=&-1\\ &2x&-&5y &&&-&t &-&3u &=&-1\\ &5x&+&2y &&&-&2t &&&=&-8\\ &-\dfrac{9}{4}x&&&-&\dfrac{17}{2}z &-&\dfrac{17}{2}t &+&\dfrac{13}{2}u &=&9\\ &\dfrac{5}{2}x&+&\dfrac{7}{4}y &+&5z &+&3t &+&\dfrac{9}{2}u &=&2\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ -8 \\ 9 \\ 2\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{82728}{63367} & \dfrac{49390}{63367} & -\dfrac{42338}{63367} & -\dfrac{41124}{63367} & \dfrac{408}{63367} \\ -\dfrac{25512}{63367} & -\dfrac{25636}{63367} & \dfrac{22009}{63367} & \dfrac{10476}{63367} & -\dfrac{3876}{63367} \\ -\dfrac{174732}{63367} & -\dfrac{94152}{63367} & \dfrac{106538}{63367} & \dfrac{84984}{63367} & \dfrac{8624}{63367} \\ \dfrac{181308}{63367} & \dfrac{97839}{63367} & -\dfrac{231039}{126734} & -\dfrac{92334}{63367} & -\dfrac{2856}{63367} \\ \dfrac{37236}{63367} & \dfrac{21918}{63367} & -\dfrac{52801}{126734} & -\dfrac{14098}{63367} & \dfrac{7684}{63367}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ -8 \\ 9 \\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{2.623478493107E+24}{1.0216819798709E+24} \\ -\dfrac{6.1900381225564E+23}{1.0216819798709E+24} \\ \dfrac{3.2034317939727E+24}{1.0216819798709E+24} \\ -\dfrac{3.0909721255396E+24}{1.0216819798709E+24} \\ \dfrac{6.5357206015823E+23}{1.0216819798709E+24}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{2.623478493107E+24}{1.0216819798709E+24}\) , \( y=\dfrac{6.1900381225564E+23}{1.0216819798709E+24}\) , \( z=\dfrac{3.2034317939727E+24}{1.0216819798709E+24}\) , \( t=\dfrac{3.0909721255396E+24}{1.0216819798709E+24}\) et \( u=\dfrac{6.5357206015823E+23}{1.0216819798709E+24}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{82728}{63367}x&+&\dfrac{49390}{63367}y &-&\dfrac{42338}{63367}z &-&\dfrac{41124}{63367}t &+&\dfrac{408}{63367}u &=&7\\ &-\dfrac{25512}{63367}x&-&\dfrac{25636}{63367}y &+&\dfrac{22009}{63367}z &+&\dfrac{10476}{63367}t &-&\dfrac{3876}{63367}u &=&-2\\ &-\dfrac{174732}{63367}x&-&\dfrac{94152}{63367}y &+&\dfrac{106538}{63367}z &+&\dfrac{84984}{63367}t &+&\dfrac{8624}{63367}u &=&7\\ &\dfrac{181308}{63367}x&+&\dfrac{97839}{63367}y &-&\dfrac{231039}{126734}z &-&\dfrac{92334}{63367}t &-&\dfrac{2856}{63367}u &=&-7\\ &\dfrac{37236}{63367}x&+&\dfrac{21918}{63367}y &-&\dfrac{52801}{126734}z &-&\dfrac{14098}{63367}t &+&\dfrac{7684}{63367}u &=&0\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}7 \\ -2 \\ 7 \\ -7 \\ 0\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & 4 & -\dfrac{17}{4} & -\dfrac{14}{3} & 5 \\ 2 & -5 & 0 & -1 & -3 \\ 5 & 2 & 0 & -2 & 0 \\ -\dfrac{9}{4} & 0 & -\dfrac{17}{2} & -\dfrac{17}{2} & \dfrac{13}{2} \\ \dfrac{5}{2} & \dfrac{7}{4} & 5 & 3 & \dfrac{9}{2}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}7 \\ -2 \\ 7 \\ -7 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{23}{12} \\ 31 \\ 45 \\ -\dfrac{63}{4} \\ 28\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{23}{12}\) , \( y=31\) , \( z=45\) , \( t=\dfrac{63}{4}\) et \( u=28\)