\( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Mes commandes %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\multirows}[3]{\multirow{#1}{#2}{$#3$}}%pour rester en mode math \renewcommand{\arraystretch}{1.3}%pour augmenter la taille des case \newcommand{\point}[1]{\marginnote{\small\vspace*{-1em} #1}}%pour indiquer les points ou le temps \newcommand{\dpl}[1]{\displaystyle{#1}}%megamode \newcommand{\A}{\mathscr{A}} \newcommand{\LN}{\mathscr{N}} \newcommand{\LL}{\mathscr{L}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\M}{\mathcal{M}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \renewcommand{\P}{\mathcal{P}} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\Kk}{\mathcal{K}} \newcommand{\Cc}{\mathcal{C}} \newcommand{\Zz}{\mathcal{Z}} \newcommand{\Ss}{\mathcal{S}} \newcommand{\B}{\mathbb{B}} \newcommand{\inde}{\bot\!\!\!\bot} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} \newcommand{\Esp}[1]{\dpl{\mathbb{E}\left(#1\right)}} \newcommand{\Var}[1]{\dpl{\mathbb{V}\left(#1\right)}} \newcommand{\Cov}[1]{\dpl{Cov\left(#1\right)}} \newcommand{\base}{\mathcal{B}} \newcommand{\Som}{\textbf{Som}} \newcommand{\Chain}{\textbf{Chain}} \newcommand{\Ar}{\textbf{Ar}} \newcommand{\Arc}{\textbf{Arc}} \newcommand{\Min}{\text{Min}} \newcommand{\Max}{\text{Max}} \newcommand{\Ker}{\text{Ker}} \renewcommand{\Im}{\text{Im}} \newcommand{\Sup}{\text{Sup}} \newcommand{\Inf}{\text{Inf}} \renewcommand{\det}{\texttt{det}} \newcommand{\GL}{\text{GL}} \newcommand{\crossmark}{\text{\ding{55}}} \renewcommand{\checkmark}{\text{\ding{51}}} \newcommand{\Card}{\sharp} \newcommand{\Surligne}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\SurligneMM}[2]{\text{\colorbox{#1}{ #2 }}} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert#1\right\rVert} \renewcommand{\lim}[1]{\underset{#1}{lim}\,} \newcommand{\nonor}[1]{\left|#1\right|} \newcommand{\Un}{1\!\!1} \newcommand{\sepon}{\setlength{\columnseprule}{0.5pt}} \newcommand{\sepoff}{\setlength{\columnseprule}{0pt}} \newcommand{\flux}{Flux} \newcommand{\Cpp}{\texttt{C++\ }} \newcommand{\Python}{\texttt{Python\ }} %\newcommand{\comb}[2]{\begin{pmatrix} #1\\ #2\end{pmatrix}} \newcommand{\comb}[2]{C_{#1}^{#2}} \newcommand{\arrang}[2]{A_{#1}^{#2}} \newcommand{\supp}[1]{Supp\left(#1\right)} \newcommand{\BB}{\mathcal{B}} \newcommand{\arc}[1]{\overset{\rotatebox{90}{)}}{#1}} \newcommand{\modpi}{\equiv_{2\pi}} \renewcommand{\Re}{Re} \renewcommand{\Im}{Im} \renewcommand{\bar}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\mat}{\mathcal{M}} \newcommand{\und}[1]{{\mathbf{\color{red}\underline{#1}}}} \newcommand{\rdots}{\text{\reflectbox{$\ddots$}}} \newcommand{\Compa}{Compa} \newcommand{\dint}{\dpl{\int}} \newcommand{\intEFF}[2]{\left[\!\left[#1 ; 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Exercice

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Exercice


On considère la matrice \[ A= \begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 2 & 4 & 0 & 4 & \dfrac{7}{5} \\ -1 & -3 & \dfrac{9}{5} & 4 & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 0 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1 & -1\end{pmatrix}\]
  1. Donner les mineurs d'ordre \( (2, 5)\) et \( (1, 2)\) : \( \widehat{A}_{2, 5}=\) \( \widehat{A}_{1, 2}=\)
  2. Expliquer pourquoi \( \det(A)=\det \begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 0 & 14 & -\dfrac{6}{5} & \dfrac{29}{2} & \dfrac{101}{15} \\ 0 & -8 & \dfrac{12}{5} & -\dfrac{5}{4} & -\dfrac{46}{15} \\ 0 & 17 & -\dfrac{29}{25} & \dfrac{189}{10} & \dfrac{58}{5} \\ 0 & -\dfrac{61}{4} & \dfrac{517}{60} & -\dfrac{289}{16} & -\dfrac{29}{3}\end{pmatrix} \)
  3. Calculer \( \det(A)\) .
  4. Pourquoi la matrice \( A \) est inversible.
  5. Donner \( B=A^{-1}\) l'inverse de la matrice \( A \) , en ne détaillant que le calcul de \( A^{-1}_{4, 3}\) .
  6. Donner \( B^{-1}\) l'inverse de la matrice \( B\) . Justifier.
  7. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &+&\dfrac{3}{5}z &-&\dfrac{21}{4}t &-&\dfrac{8}{3}u &=&9\\ &2x&+&4y &&&+&4t &+&\dfrac{7}{5}u &=&7\\ &-x&-&3y &+&\dfrac{9}{5}z &+&4t &-&\dfrac{2}{5}u &=&3\\ &\dfrac{18}{5}x&-&y &+&z &&&+&2u &=&\dfrac{53}{6}\\ &-\dfrac{13}{4}x&+&y &+&\dfrac{20}{3}z &-&t &-&u &=&-9\\ \end{array} \right. \)
  8. Résoudre le système suivant. \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{1434160}{7609983}x&+&\dfrac{5715940}{22829949}y &-&\dfrac{20521000}{2282994900}z &+&\dfrac{142189000}{2282994900}t &-&\dfrac{181700}{7609983}u &=&-9\\ &\dfrac{47552}{2536661}x&+&\dfrac{1165868}{7609983}y &-&\dfrac{1794379000}{15219966000}z &-&\dfrac{256981000}{3043993200}t &+&\dfrac{108590}{2536661}u &=&-6\\ &\dfrac{96640}{2536661}x&+&\dfrac{423370}{7609983}y &+&\dfrac{79793000}{3043993200}z &+&\dfrac{1229525}{15219966}t &+&\dfrac{323110}{2536661}u &=&-8\\ &\dfrac{69556}{7609983}x&+&\dfrac{320393000}{2853743625}y &+&\dfrac{810161000}{5707487250}z &-&\dfrac{1223000}{22829949}t &-&\dfrac{236768}{7609983}u &=&0\\ &-\dfrac{885040}{2536661}x&-&\dfrac{3058315}{7609983}y &-&\dfrac{425210}{7609983}z &+&\dfrac{2323250}{7609983}t &+&\dfrac{1760}{2536661}u &=&-5\\ \end{array} \right. \)
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Exercice


  1. \( \widehat{A}_{2, 5}=\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} \\ -1 & -3 & \dfrac{9}{5} & 4 \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 0 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1\end{pmatrix}\) \( \widehat{A}_{1, 2}=\begin{pmatrix}2 & 0 & 4 & \dfrac{7}{5} \\ -1 & \dfrac{9}{5} & 4 & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{18}{5} & 1 & 0 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & \dfrac{20}{3} & -1 & -1\end{pmatrix}\)
  2. On sait, d'après le cours, que l'on ne modifie la valeur du déterminant d'une matrice lorsqu'on ajoute à une ligne une combinaison linéaire des autres. On est donc partie de la matrice \( A\) et on a fait : \( L_{2}\leftarrow L_{2}-\left(2\right)L_1\) , \( L_{3}\leftarrow L_{3}-\left(-1\right)L_1\) , \( L_{4}\leftarrow L_{4}-\left(\dfrac{18}{5}\right)L_1\) et \( L_{5}\leftarrow L_{5}-\left(-\dfrac{13}{4}\right)L_1\)
  3. En développant par rapport à la première colonne, en se servant de la précédente remarque on a \begin{eqnarray*} \det(A) &=&\det\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 0 & 14 & -\dfrac{6}{5} & \dfrac{29}{2} & \dfrac{101}{15} \\ 0 & -8 & \dfrac{12}{5} & -\dfrac{5}{4} & -\dfrac{46}{15} \\ 0 & 17 & -\dfrac{29}{25} & \dfrac{189}{10} & \dfrac{58}{5} \\ 0 & -\dfrac{61}{4} & \dfrac{517}{60} & -\dfrac{289}{16} & -\dfrac{29}{3}\end{pmatrix}\\ &=&1\times\det\begin{pmatrix}14 & -\dfrac{6}{5} & \dfrac{29}{2} & \dfrac{101}{15} \\ -8 & \dfrac{12}{5} & -\dfrac{5}{4} & -\dfrac{46}{15} \\ 17 & -\dfrac{29}{25} & \dfrac{189}{10} & \dfrac{58}{5} \\ -\dfrac{61}{4} & \dfrac{517}{60} & -\dfrac{289}{16} & -\dfrac{29}{3}\end{pmatrix}\\ &=&\dfrac{2536661}{1000} \end{eqnarray*}
  4. On observe que le déterminant de \( A\) est non nul. D'après le cours, cela signifie que la matrice est inversible.
  5. D'après le cours \( B=A^{-1}=\left(\dfrac{2536661}{1000}\right)^{-1}{}^tCo\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 2 & 4 & 0 & 4 & \dfrac{7}{5} \\ -1 & -3 & \dfrac{9}{5} & 4 & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 0 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1 & -1\end{pmatrix} =\dfrac{1000}{2536661}\begin{pmatrix}\dfrac{3637977739760}{7609983000} & \dfrac{14499402076340}{22829949000} & -\dfrac{52054820381000}{2282994900000} & \dfrac{360685290929000}{2282994900000} & -\dfrac{460911303700}{7609983000} \\ \dfrac{120623303872}{2536661000} & \dfrac{2957411886748}{7609983000} & -\dfrac{4551731228519000}{15219966000000} & -\dfrac{651873680441000}{3043993200000} & \dfrac{275456017990}{2536661000} \\ \dfrac{245142919040}{2536661000} & \dfrac{1073946167570}{7609983000} & \dfrac{202407791173000}{3043993200000} & \dfrac{3118888116025}{15219966000} & \dfrac{819620535710}{2536661000} \\ \dfrac{176439992516}{7609983000} & \dfrac{812728427773000}{2853743625000} & \dfrac{2055103812421000}{5707487250000} & -\dfrac{3102336403000}{22829949000} & -\dfrac{600600151648}{7609983000} \\ -\dfrac{2245046451440}{2536661000} & -\dfrac{7757908386215}{7609983000} & -\dfrac{1078613623810}{7609983000} & \dfrac{5893297668250}{7609983000} & \dfrac{4464523360}{2536661000}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{1434160}{7609983} & \dfrac{5715940}{22829949} & -\dfrac{20521000}{2282994900} & \dfrac{142189000}{2282994900} & -\dfrac{181700}{7609983} \\ \dfrac{47552}{2536661} & \dfrac{1165868}{7609983} & -\dfrac{1794379000}{15219966000} & -\dfrac{256981000}{3043993200} & \dfrac{108590}{2536661} \\ \dfrac{96640}{2536661} & \dfrac{423370}{7609983} & \dfrac{79793000}{3043993200} & \dfrac{1229525}{15219966} & \dfrac{323110}{2536661} \\ \dfrac{69556}{7609983} & \dfrac{320393000}{2853743625} & \dfrac{810161000}{5707487250} & -\dfrac{1223000}{22829949} & -\dfrac{236768}{7609983} \\ -\dfrac{885040}{2536661} & -\dfrac{3058315}{7609983} & -\dfrac{425210}{7609983} & \dfrac{2323250}{7609983} & \dfrac{1760}{2536661}\end{pmatrix}\) . Précisément on a calculé \( A^{-1}_{4, 3}=B_{4, 3}= \left(\dfrac{2536661}{1000}\right)^{-1}Co(A)_{3, 4}= \left(\dfrac{2536661}{1000}\right)^{-1}\times(-1)^{3+4}\det\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{8}{3} \\ 2 & 4 & 0 & \dfrac{7}{5} \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1\end{pmatrix}=\dfrac{810161000}{5707487250}\) .
  6. On observe que \( B^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}=A\) . Trivialement, et sans calcul, \[ B^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 2 & 4 & 0 & 4 & \dfrac{7}{5} \\ -1 & -3 & \dfrac{9}{5} & 4 & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 0 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1 & -1\end{pmatrix}\]
  7. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &x&-&5y &+&\dfrac{3}{5}z &-&\dfrac{21}{4}t &-&\dfrac{8}{3}u &=&9\\ &2x&+&4y &&&+&4t &+&\dfrac{7}{5}u &=&7\\ &-x&-&3y &+&\dfrac{9}{5}z &+&4t &-&\dfrac{2}{5}u &=&3\\ &\dfrac{18}{5}x&-&y &+&z &&&+&2u &=&\dfrac{53}{6}\\ &-\dfrac{13}{4}x&+&y &+&\dfrac{20}{3}z &-&t &-&u &=&-9\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( AX=a\) où la matrice \( A\) est celle de l'énoncé, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( a=\begin{pmatrix}9 \\ 7 \\ 3 \\ \dfrac{53}{6} \\ -9\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=A^{-1}a=\begin{pmatrix}\dfrac{1434160}{7609983} & \dfrac{5715940}{22829949} & -\dfrac{20521000}{2282994900} & \dfrac{142189000}{2282994900} & -\dfrac{181700}{7609983} \\ \dfrac{47552}{2536661} & \dfrac{1165868}{7609983} & -\dfrac{1794379000}{15219966000} & -\dfrac{256981000}{3043993200} & \dfrac{108590}{2536661} \\ \dfrac{96640}{2536661} & \dfrac{423370}{7609983} & \dfrac{79793000}{3043993200} & \dfrac{1229525}{15219966} & \dfrac{323110}{2536661} \\ \dfrac{69556}{7609983} & \dfrac{320393000}{2853743625} & \dfrac{810161000}{5707487250} & -\dfrac{1223000}{22829949} & -\dfrac{236768}{7609983} \\ -\dfrac{885040}{2536661} & -\dfrac{3058315}{7609983} & -\dfrac{425210}{7609983} & \dfrac{2323250}{7609983} & \dfrac{1760}{2536661}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}9 \\ 7 \\ 3 \\ \dfrac{53}{6} \\ -9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{1.9234110150282E+40}{4.5939994418324E+39} \\ -\dfrac{3.3153525388996E+39}{1.3611850198022E+40} \\ \dfrac{5.1473828832145E+36}{1.3611850198022E+37} \\ \dfrac{7.901777601549E+39}{7.1781241278631E+39} \\ -\dfrac{9.7279757231875E+33}{2.8358021245879E+33}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{1.9234110150282E+40}{4.5939994418324E+39}\) , \( y=\dfrac{3.3153525388996E+39}{1.3611850198022E+40}\) , \( z=\dfrac{5.1473828832145E+36}{1.3611850198022E+37}\) , \( t=\dfrac{7.901777601549E+39}{7.1781241278631E+39}\) et \( u=\dfrac{9.7279757231875E+33}{2.8358021245879E+33}\)
  8. Le système \( \left\{\begin{array}{*{6}{cr}} &\dfrac{1434160}{7609983}x&+&\dfrac{5715940}{22829949}y &-&\dfrac{20521000}{2282994900}z &+&\dfrac{142189000}{2282994900}t &-&\dfrac{181700}{7609983}u &=&-9\\ &\dfrac{47552}{2536661}x&+&\dfrac{1165868}{7609983}y &-&\dfrac{1794379000}{15219966000}z &-&\dfrac{256981000}{3043993200}t &+&\dfrac{108590}{2536661}u &=&-6\\ &\dfrac{96640}{2536661}x&+&\dfrac{423370}{7609983}y &+&\dfrac{79793000}{3043993200}z &+&\dfrac{1229525}{15219966}t &+&\dfrac{323110}{2536661}u &=&-8\\ &\dfrac{69556}{7609983}x&+&\dfrac{320393000}{2853743625}y &+&\dfrac{810161000}{5707487250}z &-&\dfrac{1223000}{22829949}t &-&\dfrac{236768}{7609983}u &=&0\\ &-\dfrac{885040}{2536661}x&-&\dfrac{3058315}{7609983}y &-&\dfrac{425210}{7609983}z &+&\dfrac{2323250}{7609983}t &+&\dfrac{1760}{2536661}u &=&-5\\ \end{array} \right.\) est équivalent à l'équation \( BX=b\) où la matrice \( B=A^{-1}\) déterminée précédement, \( X\) la matrice colonne des indéterminés et \( b=\begin{pmatrix}-9 \\ -6 \\ -8 \\ 0 \\ -5\end{pmatrix}\) de sorte que la solution est \( X=B^{-1}b=Ab=\begin{pmatrix}1 & -5 & \dfrac{3}{5} & -\dfrac{21}{4} & -\dfrac{8}{3} \\ 2 & 4 & 0 & 4 & \dfrac{7}{5} \\ -1 & -3 & \dfrac{9}{5} & 4 & -\dfrac{2}{5} \\ \dfrac{18}{5} & -1 & 1 & 0 & 2 \\ -\dfrac{13}{4} & 1 & \dfrac{20}{3} & -1 & -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-9 \\ -6 \\ -8 \\ 0 \\ -5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{443}{15} \\ -49 \\ \dfrac{73}{5} \\ -\dfrac{222}{5} \\ -\dfrac{301}{12}\end{pmatrix}\) . Ainsi \( x=\dfrac{443}{15}\) , \( y=49\) , \( z=\dfrac{73}{5}\) , \( t=\dfrac{222}{5}\) et \( u=\dfrac{301}{12}\)